Konvergenz im n-dimensionalen Raum der Reellen Zahlen

Eine Folge in $\mathbb{R}^n$ hat die Form

also beispielsweise eine Folge für $n=2$ könnte definiert sein als

Benötigen wir eine Komponente von einem Punkt aus einem Element dieser Folge, so benötigen wir einen zweiten Index:

Definition: Eine Folge heißt Konvergenz von Folgen gegen $\vec{a}$, wenn gilt

d.h. wenn der Abstand (Betrag einer Folge ist der Abstand, siehe Betrag eines Vektors) von der Folge zum Punkt $\vec{a}$ gegen null konvergiert, also mit Fortlaufen der Folge kleiner wird.

Zur Erinnerung, der Betrag unserer Folge ist definiert als

Beispiel: Sei $n=2$ und $\vec{x}_k=\left(\frac{1}{k} \cos k \theta, \frac{1}{k} \sin k \theta\right)$ für ein festes $\theta$. Dann ist

also ist $\lim _{k \rightarrow \infty} \vec{x}_k=\overrightarrow{0}$.

Wir berechnen also zuerst den Betrag unseres Vektorelements in der Folge und betrachten dann sein Verhalten.

Komponentenweise Konvergenz

Eine Folge ist nur dann konvergent, wenn alle Komponenten konvergent sind

Beispiel: Für die Folge $\vec{x}_k=\left((-1)^k, \frac{1}{k}\right)$ ist die Folge der ersten Komponenten, also $\left((-1)^k\right)_{k \geq 1}$, nicht konvergent. Daher ist die ganze Folge nicht konvergent.