fabian s. klinke

Navier-Stokes-Gleichungen

notes.

Navier-Stokes-Gleichungen

Die Navier-Stokes-Gleichungen beschreiben die Bewegung von Fluiden (Flüssigkeiten und Gasen). In der Akustik werden sie verwendet, um Schallwellen in der Luft zu modellieren.

Massenerhaltung

−∂ρ∂t=ρ⋅∇v=ρ(∂vx∂x+∂vy∂y+∂vz∂z)-\frac{\partial \rho}{\partial t}=\rho \cdot \nabla v=\rho\left(\frac{\partial v_x}{\partial x}+\frac{\partial v_y}{\partial y}+\frac{\partial v_z}{\partial z}\right)

Diese Gleichung beschreibt die Erhaltung der Masse in einem Fluid. Sie sagt aus, dass die Änderung der Dichte über die Zeit gleich der Divergenz der Geschwindigkeit ist.

  • ρ\rho: Dichte des Mediums (kg/m³)
  • tt: Zeit (s)
  • vv: Geschwindigkeitsvektor (m/s)
  • vx,vy,vzv_x, v_y, v_z: Geschwindigkeitskomponenten in x-, y-, z-Richtung
  • ∇v\nabla v: Divergenz der Geschwindigkeit (räumliche Änderung), wobei ∇\nabla der Nabla-Operator ist

-> Wenn sich die Dichte an einem Punkt ändert, muss sich auch die Geschwindigkeit des Fluids ändern, um die Massenerhaltung zu gewährleisten.

Adiabatische Zustandsgleichung

pp0=(ρ∼ρ0)κ\frac{p}{p_0}=\left(\frac{\rho_{\sim}}{\rho_0}\right)^\kappa

Diese Gleichung beschreibt den Zusammenhang zwischen Druck und Dichte bei adiabatischen Prozessen (ohne Wärmeaustausch).

  • pp: Druck (Pa)
  • p0p_0: Referenzdruck (Umgebungsdruck)
  • ρ∼\rho_{\sim}: Dichteschwankung (Abweichung von der Gleichgewichtsdichte)
  • ρ0\rho_0: Referenzdichte (Gleichgewichtsdichte)
  • κ\kappa: Adiabatenexponent (für Luft ≈ 1.4)

-> Bei Schallwellen erfolgt die Kompression und Expansion so schnell, dass kein Wärmeaustausch stattfindet. Der Druck ändert sich proportional zur Dichteänderung.

Trägheitsgleichung

−∇p=ρ∂v∂t-\nabla p=\rho \frac{\partial v}{\partial t}

Diese Gleichung beschreibt die Beschleunigung eines Fluidelements aufgrund von Druckgradienten (Newton’s zweites Gesetz für Fluide).

  • ∇p\nabla p: Druckgradient (räumliche Änderung des Drucks)
  • ρ\rho: Dichte des Mediums
  • ∂v∂t\frac{\partial v}{\partial t}: Beschleunigung des Fluids

-> Ein Druckunterschied in der Luft führt zu einer Beschleunigung des Fluids in Richtung des niedrigeren Drucks. Dies ist die Grundlage für die Ausbreitung von Schallwellen.

Wellengleichung

1c2∂2p∂t2=Δp=(∂2p∂x2+∂2p∂y2+∂2p∂z2)\frac{1}{\mathrm{c}^2} \frac{\partial^2 p}{\partial t^2}=\Delta p=\left(\frac{\partial^2 p}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 p}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 p}{\partial z^2}\right)

Diese Gleichung beschreibt die Ausbreitung von Schallwellen im dreidimensionalen Raum.

  • cc: Schallgeschwindigkeit (≈ 343 m/s in Luft bei 20°C)
  • ∂2p∂t2\frac{\partial^2 p}{\partial t^2}: Zweite zeitliche Ableitung des Drucks (Beschleunigung der Druckschwankung)
  • Δp\Delta p: Laplace-Operator angewendet auf den Druck (räumliche Krümmung)
  • ∂2p∂x2,∂2p∂y2,∂2p∂z2\frac{\partial^2 p}{\partial x^2}, \frac{\partial^2 p}{\partial y^2}, \frac{\partial^2 p}{\partial z^2}: Zweite räumliche Ableitungen in x-, y-, z-Richtung

-> Die zeitliche Änderung der Druckschwankung ist proportional zur räumlichen Krümmung des Druckfelds. Dies führt zu einer Wellenausbreitung mit der Geschwindigkeit c. Schallwellen sind Druckwellen, die sich durch das Medium ausbreiten.

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