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Diskrete Fouriertransformation (DFT)

Diskrete Fouriertransformation (DFT)

Da die Fouriertransformation für zeitdiskrete Signale (DTFT) nur Zeitdiskret aber auf den Frequenzen noch kontinuierlich ist, Computer jedoch nur diskrete Daten behandeln können, müssen wir auch die Frequenzen diskretisieren:

Analyse:

X[k]=∑n=0N−1x[n]e−j(2π/N)knX[k]=\sum_{n=0}^{N-1} x[n] \mathrm{e}^{-\mathrm{j}(2 \pi / N) k n}

Hierbei ist e−j(2π/N)kn\mathrm{e}^{-\mathrm{j}(2 \pi / N) k n} eine komplexe Exponentialfolge, die aus trigonometrischen Funktionen besteht (siehe Euler-Formel).

Synthese:

x[n]=1N∑k=0N−1X[k]ej(2π/N)knx[n]=\frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} X[k] \mathrm{e}^{\mathrm{j}(2 \pi / N) k n}

siehe Symmetrien der DFT im Vergleich zur DTFT, Periodische Faltung und Zero Padding, Overlap-Add-Verfahren

Für die effiziente Berechnung der DFT siehe Fast Fourier Transformation (FFT).

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