Lineare Abbildungen
Lineare Abbildungen sind einfache Abbildungen von R n \mathbb{R}^n R n R m \mathbb{R}^m R m A A A A A A m × n m \times n m × n
A = ( a 11 a 12 … a 1 n ⋮ ⋮ … ⋮ a m 1 a m 2 … a m n ) A=\left(\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1 n} \\
\vdots & \vdots & \ldots & \vdots \\
a_{m 1} & a_{m 2} & \ldots & a_{m n}
\end{array}\right) A = a 11 ⋮ a m 1 a 12 ⋮ a m 2 … … … a 1 n ⋮ a mn Eine solche lineare Abbildung ergibt sich dann also in die Form von
A x ⃗ = ( a 11 a 12 … a 1 n ⋮ ⋮ … ⋮ a m 1 a m 2 … a m n ) ( x 1 ⋮ ⋮ x n ) = ( a 11 x 1 + a 12 x 2 + … + a 1 n x n ⋮ a m 1 x 1 + a m 2 x 2 + … + a m n x n ) A \vec{x}=\left(\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1 n} \\
\vdots & \vdots & \ldots & \vdots \\
a_{m 1} & a_{m 2} & \ldots & a_{m n}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
x_1 \\
\vdots \\
\vdots \\
x_n
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
a_{11} x_1+a_{12} x_2+\ldots+a_{1 n} x_n \\
\vdots \\
a_{m 1} x_1+a_{m 2} x_2+\ldots+a_{m n} x_n
\end{array}\right) A x = a 11 ⋮ a m 1 a 12 ⋮ a m 2 … … … a 1 n ⋮ a mn x 1 ⋮ ⋮ x n = a 11 x 1 + a 12 x 2 + … + a 1 n x n ⋮ a m 1 x 1 + a m 2 x 2 + … + a mn x n Lineare Abbildungen haben die charakteristischen Eigenschaften von
A ( c x ⃗ ) = c A x ⃗ A ( x ⃗ + y ⃗ ) = A x ⃗ + A y ⃗ , \begin{aligned}
A(c \vec{x})&=c A \vec{x} \\
A(\vec{x}+\vec{y})&=A \vec{x}+A \vec{y},
\end{aligned} A ( c x ) A ( x + y ) = c A x = A x + A y , sie folgen also den Grundbedingungen der linearen Algebra (siehe Euklidischer Raum ). Sie sind also
abgeschlossen in der Skalarmultiplikation und Vektoraddition .
Lineare Abbildungen gehören zu den einfachsten Abbildungen in der Analysis II.
Beispiel : Für m = 1 m=1 m = 1 A = ( a 1 … a n ) A=\left(a_1 \ldots a_n\right) A = ( a 1 … a n )
A x ⃗ = a 1 x 1 + … + a n x n = a ⃗ ⋅ x ⃗ . A \vec{x}=a_1 x_1+\ldots+a_n x_n=\vec{a} \cdot \vec{x} . A x = a 1 x 1 + … + a n x n = a ⋅ x . so ist für n = 3 n=3 n = 3 A ( x y z ) = 2 x − y + 7 z A\left(\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right)=2 x-y+7 z A x y z = 2 x − y + 7 z
fabian s. klinke