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Differenzialoperatoren

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Differenzialoperatoren

Differenzialoperatoren verdichten lokale Änderungsinformation von Skalarfeldern und Vektorfeldern in kompakte mathematische Objekte.

Nabla-Operator

∇=(∂x∂y∂z).\nabla = \begin{pmatrix} \partial_x\\ \partial_y\\ \partial_z \end{pmatrix}.

Aus ∇\nabla entstehen zentrale Operatoren:

  • Gradient eines Skalarfeldes ff: ∇f\nabla f
  • Divergenz eines Vektorfeldes v\mathbf{v}: ∇⋅v\nabla\cdot\mathbf{v}
  • Rotation (Curl): ∇×v\nabla\times\mathbf{v}

Interpretation

  • ∇f\nabla f: Richtung maximaler Zunahme von ff.
  • ∇⋅v\nabla\cdot\mathbf{v}: lokale Quell-/Senkendichte.
  • ∇×v\nabla\times\mathbf{v}: lokale Wirbelstärke.

Zusätzlich ist der Laplaceoperator definiert als

Δf=∇⋅∇f.\Delta f = \nabla\cdot\nabla f.

Er erscheint in Diffusions-, Potential- und Wellengleichungen.

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