Differenzierbarkeit von n-dimensionalen Funktionen

siehe Differentiation, Lineare Abbildungen, und Totales Differenzial

Um dies nun in den $n$-dimensionalen Raum zu übertragen, suchen wir in der Differenzialrechnung nun nach einer Lineare Abbildungen, welche eine Approximation an einer Stelle ergibt. Wir bekommen also für eine Funktion von $\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ eine $m \times n$ Matrix $A$ für die gilt, dass

Auch hier konvergiert der Fehler gegen null:

Man beachte, dass wir hier im Nenner den Betrag unseres Vektors haben, da durch Vektoren nicht geteilt werden kann (siehe Betrag eines Vektors).

Diese Ableitung $A := \vec{f}'(\vec{x})$ nennen wir auch das Totales Differenzial, deren Komponenten sind, die jeweils Partielle Ableitung.