Topologie im n-dimensionalen Raum der Reellen Zahlen

Der $n$ -dimensionale Euklidischer Raum $\mathbb{R}^{2}$ besteht aus den $n$ -Tupeln reeller Zahlen

\vec{x}=\left(x_1, \ldots, x_n\right).

Allgemein schreiben wir Vektoren typischerweise in Spaltenschreibweise

\left(\begin{array}{c} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{array}\right),

da wir jedoch oft Vektoren in Funktionsparametern schreiben, bietet es sich an, diese in der transponierten Form zu notieren, also

f\left( (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})^T\right).

Zur Vereinfachung lassen wir jedoch auch die Kennzeichnung als Transponierte weg, wenn der Kontext nicht das Level an Präzision erfordert.

Für die Vektoren in $\mathbb{R}^{n}$ haben wir ein Skalarprodukt und eine Länge definiert:

\begin{aligned} \vec{x} \cdot \vec{y}=\sum_{k=1}^n x_k y_k=x_1 y_1+\ldots+x_n y_n, \\ |\vec{x}|=\sqrt{\vec{x} \cdot \vec{x}}=\sqrt{x_1^2+\ldots+x_n^2}. \end{aligned}

Den Abstand zwischen zwei Punkten definieren wir als

|\vec{x}-\vec{y}|=\sqrt{\sum_{k=1}^n\left(x_k-y_k\right)^2}.

notes.