Rotation
siehe Vektorfeld und Nabla-Operator
Die Rotation eines Vektorfeld ist wieder ein Vektorfeld. Sie ist nur für n ≤ 3 n\leq 3 n ≤ 3
Anschaulich gibt die Rotation an, wie "wirbelfrei" ein Vektorfeld ist. Die Rotation als Vektorfeld zeigt an einer Stelle
in die Richtung der Verwirblung.
Formal definiert ist sie als
rot v ⃗ : = ( ∂ v 3 ∂ x 2 − ∂ v 2 ∂ x 3 ∂ v 1 ∂ x 3 − ∂ v 3 ∂ x 1 ∂ v 2 ∂ x 1 − ∂ v 1 ∂ x 2 ) \text{rot} \vec{v}:=\left(\begin{array}{l}
\frac{\partial v_3}{\partial x_2}-\frac{\partial v_2}{\partial x_3} \\
\frac{\partial v_1}{\partial x_3}-\frac{\partial v_3}{\partial x_1} \\
\frac{\partial v_2}{\partial x_1}-\frac{\partial v_1}{\partial x_2}
\end{array}\right) rot v := ∂ x 2 ∂ v 3 − ∂ x 3 ∂ v 2 ∂ x 3 ∂ v 1 − ∂ x 1 ∂ v 3 ∂ x 1 ∂ v 2 − ∂ x 2 ∂ v 1 Oder durch den nabla-operator als
rot v ⃗ : = ∇ × v ⃗ . \text{rot}\vec{v} := \nabla \times \vec{v}. rot v := ∇ × v . Für 2-dimensionale Funktionen v : R 2 → R 2 v: \mathbb{R}^{2} \to \mathbb{R}^2 v : R 2 → R 2
rot v ⃗ = ∂ v 2 ∂ x 1 − ∂ v 1 ∂ x 2 \text{rot}\vec{v} = \frac{ \partial v_{2} }{ \partial x_{1}} - \frac{ \partial v_{1} }{ \partial x_{2} } rot v = ∂ x 1 ∂ v 2 − ∂ x 2 ∂ v 1