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Rotation

siehe Vektorfeld und Nabla-Operator

Die Rotation eines Vektorfeld ist wieder ein Vektorfeld. Sie ist nur für n≤3n\leq 3 definiert.

Anschaulich gibt die Rotation an, wie "wirbelfrei" ein Vektorfeld ist. Die Rotation als Vektorfeld zeigt an einer Stelle in die Richtung der Verwirblung.

Formal definiert ist sie als

rotv⃗:=(∂v3∂x2−∂v2∂x3∂v1∂x3−∂v3∂x1∂v2∂x1−∂v1∂x2)\text{rot} \vec{v}:=\left(\begin{array}{l} \frac{\partial v_3}{\partial x_2}-\frac{\partial v_2}{\partial x_3} \\ \frac{\partial v_1}{\partial x_3}-\frac{\partial v_3}{\partial x_1} \\ \frac{\partial v_2}{\partial x_1}-\frac{\partial v_1}{\partial x_2} \end{array}\right)

Oder durch den nabla-operator als

rotv⃗:=∇×v⃗.\text{rot}\vec{v} := \nabla \times \vec{v}.

Für 2-dimensionale Funktionen v:R2→R2v: \mathbb{R}^{2} \to \mathbb{R}^2 ist die Rotation lediglich die dritte Zeile des Kreuzproduktes, also

rotv⃗=∂v2∂x1−∂v1∂x2\text{rot}\vec{v} = \frac{ \partial v_{2} }{ \partial x_{1}} - \frac{ \partial v_{1} }{ \partial x_{2} }

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