fabian s. klinke

Extremwerte mit Nebenbedingungen

siehe Extremwerte von Mehrdimensionalen Funktionen

Nehmen wir an, wir haben eine einfache Funktion f(x,y)=x2+y2f(x, y) = x^{2} + y^{2} und wollen deren Extremstellen auf der Geraden g(x,y)=x+y=1g(x, y) = x+y = 1 finden, so können wir mt Hilfe des Lagrange-Multiplikator eine Gleichung aufstellen:

∇f=λ∇g\nabla f = \lambda \nabla g

Da unsere Funktion zwei dimensional ist, ergibt sich also folgendes Gleichungssystem von 3 Variablen (die beiden Parameter und unser Lagrange-Multiplikator):

∂f∂x=λ∂g∂x∂f∂y=λ∂g∂yx+y=1\begin{aligned} \frac{ \partial f }{ \partial x } &= \lambda \frac{ \partial g }{ \partial x } \\ \frac{ \partial f }{ \partial y } &= \lambda \frac{ \partial g }{ \partial y } \\ x + y &= 1 \end{aligned}

Setzen wir die Ableitungen ein erhalten wir

2x=λ2y=λ  ⟹  x=y2x=1  ⟹  x=y=0.5\begin{aligned} 2x &= \lambda\\ 2y &= \lambda &\implies x = y\\ 2x &= 1 &\implies x = y = 0.5 \end{aligned}

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