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Kugelkoordinaten

 Kugelkoordinaten x=rsin⁡θcos⁡ϕy=rsin⁡θsin⁡ϕz=rcos⁡θr=x2+y2+z∂r∂x=xr∂r∂y=yr∂r∂z=zr∂θ∂x=cos⁡θcos⁡ϕr∂θ∂y=cos⁡θsin⁡ϕr∂θ∂z=−sin⁡θr∂ϕ∂x=−sin⁡ϕrsin⁡θ∂ϕ∂y=cos⁡ϕrsin⁡θ∂ϕ∂z=0\begin{array}{|c|c|c|} \hline \text { Kugelkoordinaten } & \begin{array}{l} x=r \sin \theta \cos \phi \\ y=r \sin \theta \sin \phi \\ z=r \cos \theta \end{array} & r=\sqrt{x^2+y^2+z} \\ \hline \frac{\partial r}{\partial x}=\frac{x}{r} & \frac{\partial r}{\partial y}=\frac{y}{r} & \frac{\partial r}{\partial z}=\frac{z}{r} \\ \hline \frac{\partial \theta}{\partial x}=\frac{\cos \theta \cos \phi}{r} & \frac{\partial \theta}{\partial y}=\frac{\cos \theta \sin \phi}{r} & \frac{\partial \theta}{\partial z}=\frac{-\sin \theta}{r} \\ \hline \frac{\partial \phi}{\partial x}=\frac{-\sin \phi}{r \sin \theta} & \frac{\partial \phi}{\partial y}=\frac{\cos \phi}{r \sin \theta} & \frac{\partial \phi}{\partial z}=0 \\ \hline \end{array}

Kugelkoordinaten funktionieren auf der Eben wie Polarkoordinaten, die Höhe beschreiben wir aber zusätzlich auch durch einen Winkel θ\theta, welchen wir von der y-Achse aus abwärts messen. Somit ist das System definiert durch

x=rsin⁡θcos⁡ϕr=x2+y2+z2y=rsin⁡θsin⁡ϕz=rcos⁡θ.\begin{aligned} & x=r \sin \theta \cos \phi \quad r=\sqrt{x^2+y^2+z^2} \\ & y=r \sin \theta \sin \phi \\ & z=r \cos \theta . \end{aligned}

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