Oberflächenintegral

Haben wir beispielsweise ein Skalarfeld $f(x, y, z) = z$ und wollen diese auf der Oberfläche einer Kugel integrieren, so können wir uns dies so vorstellen, dass zuerst jedem Vektor $\vec{x} = (x, y, z)$ ein Funktionswert auf der 4. Dimension zugewiesen wird, in unserem Beispiel weisen wir also jedem Punkt im 3 dimensionalem Raum seine Höhe als Wert zu.

Wenn wir nun das Oberflächenintegral dieser Funktion über der Kugeloberfläche berechnen wollen, so "addieren" wir alle Funktionswerte unserer Funktion $f$, welche auf der Oberfläche dieser Kugel liegen.

Dies funktioniert auch allgemeine Funktionen, und nicht nur Kugeln und Zylindern. Bei diesen lohnt sich jedoch meist eine Berechnung des mehrdimensionalen Integrals durch Koordinatentransformation.

Um zu beginnen, müssen wir zuerst eine geeignete Parametrisierung der Oberfläche schaffen und diese dann in unsere Funktion einsetzen und zusammen mit dem Oberflächenelement integrieren.

Beispiel: Gegeben sei wieder die Funktion $f: \mathbb{R}^{3} \to \mathbb{R},\, f(x, y, z) = z$, welche wir über die Oberfläche einer Kugel mit $R=1$ integrieren wollen.

Wir stellen also zuerst die Parametrisierung auf, welche für eine Kugel gegeben ist durch

Hieraus können wir nun das Oberflächenelement bestimmen mit

hierzu müssen wir zuerst die partiellen Ableitungen aufstellen

Somit ergibt sich

Stellen wir zunächst noch einen Wertebereich für unsere Winkel $\theta$ und $\phi$ auf. Der Winkel $\phi$ ist der Winkel zwischen dem Pol und der x-Achse, er hat daher einen maximalen Wertebereich von 180 Grad, also $2\pi$. Unser Winkel $\theta$ gibt den Azimutwinkel an, also der Winkel in der XY-Plane, er kann alle 360 Grad annehmen, also $2\pi$. Nun können wir also das Integral aufstellen mit