Satz von Taylor im Mehrdimensionalem
siehe Satz von Taylor .
Wir beschränken uns zunächst auf das 2. Taylorpolynom einer zweimal stetig differenzierbaren Funktion
f : R n → R f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} f : R n → R x ⃗ \vec{x} x Δ x ⃗ \Delta \vec{x} Δ x x ⃗ \vec{x} x
f ( x ⃗ + Δ x ⃗ ) = f ( x ⃗ ) + ∑ i = 1 n ∂ f ∂ x i ( x ⃗ ) Δ x i + 1 2 ∑ i , j = 1 n ∂ 2 f ∂ x i ∂ x j ( x ⃗ + t Δ x ⃗ ) Δ x i Δ x j f(\vec{x}+\vec{\Delta x})=f(\vec{x})+\sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i}(\vec{x}) \Delta x_i+\frac{1}{2} \sum_{i, j=1}^n \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}(\vec{x}+t \vec{\Delta x}) \Delta x_i \Delta x_j f ( x + Δ x ) = f ( x ) + i = 1 ∑ n ∂ x i ∂ f ( x ) Δ x i + 2 1 i , j = 1 ∑ n ∂ x i ∂ x j ∂ 2 f ( x + t Δ x ) Δ x i Δ x j Für eine Funktion g : R 2 → R g: \mathbb{R}^{2} \to \mathbb{R} g : R 2 → R ( x 0 , y 0 ) (x_{0}, y_{0}) ( x 0 , y 0 )
T 2 g ( x , y ) = g ( x 0 , y 0 ) + ∂ g ∂ x ( x 0 , y 0 ) ( x − x 0 ) + ∂ g ∂ y ( x 0 , y 0 ) ( y − y 0 ) + 1 2 ( ∂ 2 g ∂ x 2 ( x 0 , y 0 ) ( x − x 0 ) 2 + ∂ 2 g ∂ x ∂ y ( x 0 , y 0 ) ( x − x 0 ) ( y − y 0 ) + ∂ 2 g ∂ y 2 ( x 0 , y 0 ) ( y − y 0 ) 2 ) . \begin{aligned}
T_{2}g(x, y) &= g(x_{0}, y_{0}) \\
&+ \frac{ \partial g }{ \partial x } (x_{0}, y_{0})(x-x_{0}) + \frac{ \partial g }{ \partial y } (x_{0}, y_{0})(y-y_{0})\\
&+ \frac{1}{2}\left(\frac{ \partial^{2} g }{ \partial x^{2} } (x_{0}, y_{0})(x-x_{0})^{2} + \frac{ \partial^{2} g }{ \partial x \partial y } (x_{0}, y_{0})(x-x_{0})(y-y_{0}) + \frac{ \partial^{2} g }{ \partial y^{2} } (x_{0}, y_{0})(y-y_{0})^{2}\right).
\end{aligned} T 2 g ( x , y ) = g ( x 0 , y 0 ) + ∂ x ∂ g ( x 0 , y 0 ) ( x − x 0 ) + ∂ y ∂ g ( x 0 , y 0 ) ( y − y 0 ) + 2 1 ( ∂ x 2 ∂ 2 g ( x 0 , y 0 ) ( x − x 0 ) 2 + ∂ x ∂ y ∂ 2 g ( x 0 , y 0 ) ( x − x 0 ) ( y − y 0 ) + ∂ y 2 ∂ 2 g ( x 0 , y 0 ) ( y − y 0 ) 2 ) .