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Satz von Taylor im Mehrdimensionalem

siehe Satz von Taylor.

Wir beschränken uns zunächst auf das 2. Taylorpolynom einer zweimal stetig differenzierbaren Funktion f:Rn→Rf: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} und approximieren an der Stelle x⃗\vec{x}, wobei Δx⃗\Delta \vec{x} der Abstand unseres Punktes zu unserem Entwicklungspunkt x⃗\vec{x} ist.

f(x⃗+Δx⃗)=f(x⃗)+∑i=1n∂f∂xi(x⃗)Δxi+12∑i,j=1n∂2f∂xi∂xj(x⃗+tΔx⃗)ΔxiΔxjf(\vec{x}+\vec{\Delta x})=f(\vec{x})+\sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i}(\vec{x}) \Delta x_i+\frac{1}{2} \sum_{i, j=1}^n \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}(\vec{x}+t \vec{\Delta x}) \Delta x_i \Delta x_j

Für eine Funktion g:R2→Rg: \mathbb{R}^{2} \to \mathbb{R} um den Entwicklungspunkt (x0,y0)(x_{0}, y_{0}) ergibt sich beispielsweise

T2g(x,y)=g(x0,y0)+∂g∂x(x0,y0)(x−x0)+∂g∂y(x0,y0)(y−y0)+12(∂2g∂x2(x0,y0)(x−x0)2+∂2g∂x∂y(x0,y0)(x−x0)(y−y0)+∂2g∂y2(x0,y0)(y−y0)2).\begin{aligned} T_{2}g(x, y) &= g(x_{0}, y_{0}) \\ &+ \frac{ \partial g }{ \partial x } (x_{0}, y_{0})(x-x_{0}) + \frac{ \partial g }{ \partial y } (x_{0}, y_{0})(y-y_{0})\\ &+ \frac{1}{2}\left(\frac{ \partial^{2} g }{ \partial x^{2} } (x_{0}, y_{0})(x-x_{0})^{2} + \frac{ \partial^{2} g }{ \partial x \partial y } (x_{0}, y_{0})(x-x_{0})(y-y_{0}) + \frac{ \partial^{2} g }{ \partial y^{2} } (x_{0}, y_{0})(y-y_{0})^{2}\right). \end{aligned}

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