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Potenzial eines Vektorfeldes

Das Potenzial u:R3→Ru: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R} ist definiert als

∇u=−v⃗.\nabla u = -\vec{v}.

Eine Voraussetzung für die Existenz eines Potenzials ist, dass das Vektorfeld v⃗\vec{v} wirbelfrei ist (siehe Rotation). Also, dass gilt

rotv⃗=0⃗.\text{rot} \vec{v} = \vec{0}.

Berechnen wir das Potenzial einer Funktion nun anhand eines Beispiels:

v⃗(x,y,z)=(3x2yx3+zy+1)\vec{v}(x, y, z) = \begin{pmatrix} 3x^{2}y \\ x^{3} + z \\ y + 1 \end{pmatrix}

zuerst müssen wir überprüfen, ob das Vektorfeld wirbelfrei ist, dies nehmen wir für dieses Beispiel zur Vereinfachung als gegeben an. So müssen wir als Nächstes eine Stammfunktion ϕ\phi finden, für welche gilt, dass

∂ϕ∂x=3x2y∂ϕ∂y=x3+z∂ϕ∂z=y+1\begin{aligned} \frac{ \partial \phi }{ \partial x } &= 3x^{2}y\\ \frac{ \partial \phi }{ \partial y } &= x^{3} + z\\ \frac{ \partial \phi }{ \partial z } &= y + 1 \end{aligned}

nachdem wir unsere erste Zeile des Vektorfeldes integrieren, erhalten wir

ϕ=x3y+c(y,z)\phi = x^{3}y + c(y, z)

Differenzieren wir nun unser Restglied c(y,z)c(y, z) nach yy und setzen es in die zweite Zeile ein, erhalten wir

x3+∂c∂y=x3+z  ⟹  c=yz+h(z)x^{3} + \frac{ \partial c }{ \partial y } = x^{3} + z \implies c = yz + h(z)

und daraus sehen wir in der dritten Gleichung, dass

y+∂h∂z=y+1  ⟹  h(z)=z+const.y + \frac{ \partial h }{ \partial z } = y + 1 \implies h(z) = z + \text{const.}

Somit erhalten wir die Stammfunktion ϕ\phi, welche wir dann noch negieren müssen, um das Potenzial uu zu erhalten:

ϕ(x,y,z)=x3y+yz+z+constu(x,y,z)=−(x3y+yz+z+const).\begin{aligned} \phi(x, y, z) &= x^{3}y + yz + z + \text{const}\\ u(x, y, z) &= -(x^{3}y + yz + z + \text{const}). \end{aligned}

Als Weiterführung siehe Vektorpotential.

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