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Rechenregeln zu Differenzialoperatoren

siehe Rotation, Divergenz, Gradient einer Funktion

Für ψ,u:Rn⊃G→R\psi, u: \mathbb{R}^n \supset G \rightarrow \mathbb{R} und v⃗,w⃗:Rn⊃G→Rn\vec{v}, \vec{w}: \mathbb{R}^n \supset G \rightarrow \mathbb{R}^n hat man „Produktregeln“, welche definiert sind durch

grad(ψu)=ψgradu+ugradψdiv(ψv⃗)=(gradψ)⋅v⃗+ψdivv⃗rot(ψv⃗)=(gradψ)×v⃗+ψrotv⃗div(v⃗×w⃗)=(rotv⃗)⋅w⃗−v⃗⋅rotw⃗\begin{aligned} \text{grad}(\psi u) & =\psi \text{grad} u+u \text{grad} \psi \\ \text{div}(\psi \vec{v}) & =(\text{grad} \psi) \cdot \vec{v}+\psi \text{div} \vec{v} \\ \text{rot}(\psi \vec{v}) & =(\text{grad} \psi) \times \vec{v}+\psi \text{rot} \vec{v} \\ \text{div}(\vec{v} \times \vec{w}) & =(\text{rot} \vec{v}) \cdot \vec{w}-\vec{v} \cdot \text{rot} \vec{w} \end{aligned}

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