Extremwerte von mehrdimensionalen Funktionen

siehe Gradient einer Funktion und Hesse-Matrix

Vorausseztung dafür dass die Funktion $f$ in einem Punkt ein lokales Extremum hat ist, dass an dieser Stelle der Gradient einer Funktion im Nullvektor verschwindet, diese Stellen nennt man auch kritische Punkte:

Wir können dann aus der Hesse-Matrix ablesen, welche Form genau eine unserer kritischen Punkte hat. Hierzu berechnen wir aus der Hessematrix die Hesse-Form.

Zur Erinnerung:

Wir können nun anahnd der Hesseform eine Aussage treffen:

1. $\text{hess}_{\vec{x}}f(\vec{u}) > 0$ so haben wir ein lokales Minimum -> ==positiv definit==
2. $\text{hess}_{\vec{x}}f(\vec{u}) < 0$ so haben wir ein lokales Maximum -> ==negativ definit==
3. wechsel $\text{hess}_{\vec{x}}f(\vec{u})$ das Vorzeichen, so ist es kein lokales Extremum sondern ein Sattelpunkt. -> ==indefinit==
4. sehen wir dass die Hesseform größe/kleiner und gleich 0 sein kann, das gleich 0 hier als Abgrenzung zu den ersten beiden Fällen, so kann keine Aussage getroffen werden. -> ==positiv bzw. negativ semidefinit==

Da die Definitheit oft schwer zu überprüfen ist, können wir dies auch überprüfen anhand der Eigenwerte oder die Determinante der Hessematrix. Sind diese alle positiv, so die Hesseform positiv definit, etc. Die Determinante der Hessematrix ist definiert durch

Zusätzlich müssen wir auch den Wert der zweiten Ableitung nach $x$ beobachten

Aus dieser können wir nun wieder unsere vier Fälle von zuvor ablesen

1. Die Determinante ist negativ -> Sattelpunkt
2. Die Determinante ist positiv und die 2. Ableitung positiv -> lokales Minimum
3. Die Determinante ist positiv und die 2. Ableitung negativ -> lokales Maximum
4. Die Determinante ist gleich Null -> kein Extremum