Jack plug as logo for the webpageFABIAN S. KLINKE

Kurvenintegrale

siehe Integral und Kurve

Definition: Das Integral des Vektorfeldes F⃗\vec{F} über die Kurve x⃗:[a,b]→Rn\vec{x}:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}^n ist definiert durch

∫x⃗F⃗⋅ds→:=∫abF⃗(x⃗(t))⋅x⃗˙(t)dt\int_{\vec{x}} \vec{F} \cdot \overrightarrow{d s}:=\int_a^b \vec{F}(\vec{x}(t)) \cdot \dot{\vec{x}}(t) d t

wobei x⃗˙\dot{\vec{x}} die Ableitung von x⃗\vec{x} nach tt ist.

Um das Kurvenintegral also zu berechnen, setzen wir unsere Kurve in unser Vektorfeld ein und leiten unsere Kurve nach tt ab. Danach berechnen wir da Skalarprodukt aus diese beiden Vektoren.

Ein Beispiel:

Gegeben sei das Vektorfeld

v⃗:R2→R2,v⃗(x,y)=(cos⁡(x)sin⁡(x+3y))\vec{v}: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2, \vec{v}(x, y) = \begin{pmatrix} \cos(x) \\ \sin(x + 3y) \end{pmatrix}

und die Kurve

γ:[1,2]→R2,γ(t)=(2tt3).\gamma: [1, 2] \to \mathbb{R}^2, \gamma(t) = \begin{pmatrix} 2t \\ t^{3} \end{pmatrix}.

Stellen wir also zunächst das Kurvenintegral auf

∫v⃗(γ⃗(t))⋅γ⃗′(t) dt=∫(cos⁡(2t)sin⁡(2t+3t3))⋅(23t2) dt=∫2cos⁡(t)+3t2sin⁡(2t+3t3) dt\begin{aligned} \int \vec{v}(\vec{\gamma}(t)) \cdot \vec{\gamma}'(t) \, dt &= \int \begin{pmatrix} \cos(2t) \\ \sin(2t + 3t^{3}) \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 3t^{2} \end{pmatrix}\, dt \\ &= \int 2\cos(t) + 3t^{2} \sin(2t+3t^{3}) \, dt \end{aligned}

Related Notes

Command Palette

Search for a command to run...