Kurvenintegrale
siehe Integral und Kurve
Definition : Das Integral des Vektorfeldes F ⃗ \vec{F} F x ⃗ : [ a , b ] → R n \vec{x}:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}^n x : [ a , b ] → R n
∫ x ⃗ F ⃗ ⋅ d s → : = ∫ a b F ⃗ ( x ⃗ ( t ) ) ⋅ x ⃗ ˙ ( t ) d t \int_{\vec{x}} \vec{F} \cdot \overrightarrow{d s}:=\int_a^b \vec{F}(\vec{x}(t)) \cdot \dot{\vec{x}}(t) d t ∫ x F ⋅ d s := ∫ a b F ( x ( t )) ⋅ x ˙ ( t ) d t wobei x ⃗ ˙ \dot{\vec{x}} x ˙ x ⃗ \vec{x} x t t t
Um das Kurvenintegral also zu berechnen, setzen wir unsere Kurve in unser Vektorfeld ein und
leiten unsere Kurve nach t t t Skalarprodukt aus diese beiden Vektoren.
Ein Beispiel:
Gegeben sei das Vektorfeld
v ⃗ : R 2 → R 2 , v ⃗ ( x , y ) = ( cos ( x ) sin ( x + 3 y ) ) \vec{v}: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2, \vec{v}(x, y) = \begin{pmatrix}
\cos(x) \\
\sin(x + 3y)
\end{pmatrix} v : R 2 → R 2 , v ( x , y ) = ( cos ( x ) sin ( x + 3 y ) ) und die Kurve
γ : [ 1 , 2 ] → R 2 , γ ( t ) = ( 2 t t 3 ) . \gamma: [1, 2] \to \mathbb{R}^2, \gamma(t) = \begin{pmatrix}
2t \\
t^{3}
\end{pmatrix}. γ : [ 1 , 2 ] → R 2 , γ ( t ) = ( 2 t t 3 ) . Stellen wir also zunächst das Kurvenintegral auf
∫ v ⃗ ( γ ⃗ ( t ) ) ⋅ γ ⃗ ′ ( t ) d t = ∫ ( cos ( 2 t ) sin ( 2 t + 3 t 3 ) ) ⋅ ( 2 3 t 2 ) d t = ∫ 2 cos ( t ) + 3 t 2 sin ( 2 t + 3 t 3 ) d t \begin{aligned}
\int \vec{v}(\vec{\gamma}(t)) \cdot \vec{\gamma}'(t) \, dt &= \int \begin{pmatrix}
\cos(2t) \\
\sin(2t + 3t^{3})
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
2 \\
3t^{2}
\end{pmatrix}\, dt \\
&= \int 2\cos(t) + 3t^{2} \sin(2t+3t^{3}) \, dt
\end{aligned} ∫ v ( γ ( t )) ⋅ γ ′ ( t ) d t = ∫ ( cos ( 2 t ) sin ( 2 t + 3 t 3 ) ) ⋅ ( 2 3 t 2 ) d t = ∫ 2 cos ( t ) + 3 t 2 sin ( 2 t + 3 t 3 ) d t 