Berechnung des mehrdimensionalen Integrals durch mehrfach-Integration

siehe Berechnung des mehrdimensionalen Integrals durch Riemannsche Summen und Berechnung des mehrdimensionalen Integrals durch Koordinatentransformation

Anstelle durch Berechnung des mehrdimensionalen Integrals durch Riemannsche Summen können wir das Integral auch präzise bestimmen, so gilt für eine Funktion $f: R \to \mathbb{R}$ wobei

dass das Integral auch "nacheinander einzeln" bestimmt werden kann durch

dies gilt jedoch nur, falls $R$ ein Rechteck ist.

Allgemein gilt der Satz: Seien $\alpha, \beta:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ differenzierbar und $\alpha \leq \beta$. Sei

dann ist $B$ kompakt. Ist $f: B \rightarrow \mathbb{R}$ stetig, so gilt:

Die lässt sich auch auf weitere Dimensionen fortführen, wir erhalten beispielsweise für drei Dimensionen

hier ist das Zweifach Integral danach zu bestimmen wie oben definiert.

Manchmal kann es einfacher sein, vor allem bei Kreis und Kugelförmigen Funktionen mit Polarkoordinaten zu arbeiten. Berechnung des mehrdimensionalen Integrals durch Koordinatentransformation

1. Mehrfachintegral an Einem Beispiel

Sei $B=\left\{(x, y) \mid 0 \leq x, 0 \leq y, x^2+y^2 \leq 1\right\}$ der Viertelkreis mit dem Radius $1$. Nun wollen wir das Mehrfachintegral bestimmen von

Wir müssen also als Erstes mit zwei Funktionen $\alpha, \beta$ in Abhängigkeit von x kommen, die jeweils die untere und obere Grenze in y-Richtung angibt. Wir haben also

und sehen, dass $\beta(x) = \sqrt{ 1-x^{2} }$ und $\alpha(x) = 0$. Das Intervall von $[a, b]$ bestimmt die Werte auf der x-Achse, für welche das Integral betrachtet wird, in unserem Fall also $[0, 1]$.

Wir können nun das Integral aufstellen, wie oben kennengelernt:

und bekommen, wenn wir es durchrechnen