Berechnung des mehrdimensionalen Integrals durch mehrfach-Integration
siehe
Berechnung des mehrdimensionalen Integrals durch Riemannsche Summen
und
Berechnung des mehrdimensionalen Integrals durch Koordinatentransformation
Anstelle durch
Berechnung des mehrdimensionalen Integrals durch Riemannsche Summen
können wir das Integral auch präzise bestimmen, so gilt für eine Funktion f : R → R f: R \to \mathbb{R} f : R → R
R = [ a 1 , b 1 ] × [ a 2 , b 2 ] , R = [a_{1}, b_{1}] \times [a_{2}, b_{2}], R = [ a 1 , b 1 ] × [ a 2 , b 2 ] , dass das Integral auch "nacheinander einzeln" bestimmt werden kann durch
∬ R f ( x , y ) d x d y = ∫ a 1 b 1 ( ∫ a 2 b 2 f ( x , y ) d y ) d x \iint_R f(x, y) d x d y=\int_{a_1}^{b_1}\left(\int_{a_2}^{b_2} f(x, y) d y\right) d x ∬ R f ( x , y ) d x d y = ∫ a 1 b 1 ( ∫ a 2 b 2 f ( x , y ) d y ) d x dies gilt jedoch nur, falls R R R Rechteck ist.
Allgemein gilt der Satz: Seien α , β : [ a , b ] → R \alpha, \beta:[a, b] \rightarrow \mathbb{R} α , β : [ a , b ] → R α ≤ β \alpha \leq \beta α ≤ β
B = { ( x , y ) ∣ a ≤ x ≤ b und α ( x ) ≤ y ≤ β ( x ) } . B=\{(x, y) \mid a \leq x \leq b \text { und } \alpha(x) \leq y \leq \beta(x)\} . B = {( x , y ) ∣ a ≤ x ≤ b und α ( x ) ≤ y ≤ β ( x )} . dann ist B B B f : B → R f: B \rightarrow \mathbb{R} f : B → R
∬ B f ( x , y ) d x d y = ∫ a b ( ∫ α ( x ) β ( x ) f ( x , y ) d y ) d x \iint_B f(x, y) d x d y=\int_a^b\left(\int_{\alpha(x)}^{\beta(x)} f(x, y) d y\right) d x ∬ B f ( x , y ) d x d y = ∫ a b ( ∫ α ( x ) β ( x ) f ( x , y ) d y ) d x Die lässt sich auch auf weitere Dimensionen fortführen, wir erhalten beispielsweise für drei Dimensionen
∭ B f ( x , y , z ) d x d y d z = ∬ B ∗ ( ∫ α ( x , y ) β ( x , y ) f ( x , y , z ) d z ) d x d y . \iiint_B f(x, y, z) d x d y d z=\iint_{B^*}\left(\int_{\alpha(x, y)}^{\beta(x, y)} f(x, y, z) d z\right) d x d y. ∭ B f ( x , y , z ) d x d y d z = ∬ B ∗ ( ∫ α ( x , y ) β ( x , y ) f ( x , y , z ) d z ) d x d y . hier ist das Zweifach Integral danach zu bestimmen wie oben definiert.
Manchmal kann es einfacher sein, vor allem bei Kreis und Kugelförmigen Funktionen mit Polarkoordinaten zu arbeiten.
Berechnung des mehrdimensionalen Integrals durch Koordinatentransformation
1. Mehrfachintegral an Einem Beispiel
Sei B = { ( x , y ) ∣ 0 ≤ x , 0 ≤ y , x 2 + y 2 ≤ 1 } B=\left\{(x, y) \mid 0 \leq x, 0 \leq y, x^2+y^2 \leq 1\right\} B = { ( x , y ) ∣ 0 ≤ x , 0 ≤ y , x 2 + y 2 ≤ 1 } 1 1 1
∬ B ( x y + 1 ) d x d y . \iint_B(x y+1) d x d y. ∬ B ( x y + 1 ) d x d y . Wir müssen also als Erstes mit zwei Funktionen α , β \alpha, \beta α , β
und sehen, dass β ( x ) = 1 − x 2 \beta(x) = \sqrt{ 1-x^{2} } β ( x ) = 1 − x 2 α ( x ) = 0 \alpha(x) = 0 α ( x ) = 0 [ a , b ] [a, b] [ a , b ] [ 0 , 1 ] [0, 1] [ 0 , 1 ]
Wir können nun das Integral aufstellen, wie oben kennengelernt:
∫ 0 1 ∫ 0 1 − x 2 ( x y + 1 ) d y d x \int_{0}^{1} \int_{0}^{\sqrt{ 1-x^{2} }} (xy+1)\, dy \, dx ∫ 0 1 ∫ 0 1 − x 2 ( x y + 1 ) d y d x und bekommen, wenn wir es durchrechnen
∬ B ( x y + 1 ) d x d y = ∫ 0 1 ( ∫ 0 1 − x 2 ( x y + 1 ) d y ) d x = ∫ 0 1 ( x y 2 / 2 + y ) ∣ 0 1 − x 2 d x = ∫ 0 1 ( x / 2 ( 1 − x 2 ) + 1 − x 2 ) d x = ( x 2 / 4 − x 4 / 8 ) ∣ 0 1 + ∫ 0 1 1 − x 2 d x = 1 8 + 1 4 ( Fl a ¨ che des Einheitskreises ) = 1 8 + π 4 . \begin{aligned}
\iint_B(x y+1) d x d y & =\int_0^1\left(\int_0^{\sqrt{1-x^2}}(x y+1) d y\right) d x=\left.\int_0^1\left(x y^2 / 2+y\right)\right|_0 ^{\sqrt{1-x^2}} d x \\
& =\int_0^1\left(x / 2\left(1-x^2\right)+\sqrt{1-x^2}\right) d x \\
& =\left.\left(x^2 / 4-x^4 / 8\right)\right|_0 ^1+\int_0^1 \sqrt{1-x^2} d x \\
& =\frac{1}{8}+\frac{1}{4}(\text { Fläche des Einheitskreises })=\frac{1}{8}+\frac{\pi}{4} .
\end{aligned} ∬ B ( x y + 1 ) d x d y = ∫ 0 1 ( ∫ 0 1 − x 2 ( x y + 1 ) d y ) d x = ∫ 0 1 ( x y 2 /2 + y ) 0 1 − x 2 d x = ∫ 0 1 ( x /2 ( 1 − x 2 ) + 1 − x 2 ) d x = ( x 2 /4 − x 4 /8 ) 0 1 + ∫ 0 1 1 − x 2 d x = 8 1 + 4 1 ( Fl a ¨ che des Einheitskreises ) = 8 1 + 4 π . 