FABIAN S. KLINKE

Differentiation in Polarkoordinaten

Um die Partielle Ableitung für Polarkoordinaten zu berechnen, betrachten wir zunächst

x=\rho \cos \phi, \quad y=\rho \sin \phi

Hieraus ergeben sich

\begin{array}{ll} \frac{\partial x}{\partial \rho}=\cos \phi, & \frac{\partial x}{\partial \phi}=-\rho \sin \phi \\ \frac{\partial y}{\partial \rho}=\sin \phi, & \frac{\partial y}{\partial \phi}=\rho \cos \phi \end{array}

wodurch sich durch die Kettenregel ergibt, dass

\begin{aligned} & \frac{\partial f}{\partial \rho}=\frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial \rho}+\frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial \rho}=\frac{\partial f}{\partial x} \cos \phi+\frac{\partial f}{\partial y} \sin \phi \\ & \frac{\partial f}{\partial \phi}=\frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial \phi}+\frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial \phi}=-\rho \frac{\partial f}{\partial x} \sin \phi+\rho \frac{\partial f}{\partial y} \cos \phi \end{aligned}

oder veranschaulicht dargestellt durch Gradient einer Funktion

\begin{aligned} & \frac{\partial f}{\partial \rho}=\text{grad} f \cdot(\cos \phi, \sin \phi) \\ & \frac{\partial f}{\partial \phi}=\text{grad} f \cdot(-\rho \sin \phi, \rho \cos \phi). \end{aligned}

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