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Laplaceoperator

Anschaulich gesprochen gibt er an, wie sehr eine Funktion an einer Stelle von ihrem Durchschnittswert in der Nachbarschaft abweicht (divergiert). Ist der Laplaceoperator also negativ, so ist die Funktion an diesem Punkt höher als ihre Nachbarschaft und umgekehrt. Ist er Null, so entspricht der Punkt dem Durchschnitt seiner Nachbarschaft und könnte auf ein Plateau hinweisen.

Der Laplaceoperator ist für alle zweimal stetig differenzierbaren Funktionen definiert als die Divergenz des Gradient einer Funktion

Δu:=div(gradu)=∇⋅(∇u)=∂2u∂x12+…∂2u∂xn2.\begin{aligned} \Delta u &:= \text{div}(\text{grad} u) = \nabla \cdot (\nabla u)\\ &= \frac{ \partial^{2} u }{ \partial x_{1}^{2} } + \dots \frac{ \partial^{2} u }{ \partial x_{n}^{2} } . \end{aligned}

wir sehen also sofort, dass der Laplaceoperator gleich der Summe aller zweiten partiellen Ableitungen ist.

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