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Berechnung des mehrdimensionalen Integrals durch Koordinatentransformation

siehe Polarkoordinaten, Kugelkoordinaten, und Zylinderkoordinaten

1. Für 2-dimensionale Räume

Seien B,R⊂R2B, R \subset \mathbb{R}^2 kompakte Bereiche und sei f:B→Rf: B \rightarrow \mathbb{R} stetig. Sei

x⃗:(uv)↦(x(u,v)y(u,v))\vec{x}:\left(\begin{array}{l} u \\ v \end{array}\right) \mapsto\left(\begin{array}{c} x(u, v) \\ y(u, v) \end{array}\right)

eine Transformation mit stetigen partiellen Ableitungen, welche RR surjektiv und (mit möglichen Ausnahmen in Randpunkten von RR ) injektiv auf BB abbildet. Dann gilt

∬Bf(x,y)dxdy=∬Rf(x(u,v),y(u,v))∣det(∂x∂u∂x∂v∂y∂u∂y∂v)∣dudv\iint_B f(x, y) d x d y=\iint_R f(x(u, v), y(u, v))\left|\text{det}\left(\begin{array}{cc} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{array}\right)\right| d u d v

Dies ergibt für Polarkoordinaten

det(∂x∂ρ∂x∂ϕ∂y∂ρ∂y∂ϕ)=det(cos⁡ϕ−ρsin⁡ϕsin⁡ϕρcos⁡ϕ)=ρcos⁡2ϕ+ρsin⁡2ϕ=ρ. \text{det}\left(\begin{array}{ll} \frac{\partial x}{\partial \rho} & \frac{\partial x}{\partial \phi} \\ \frac{\partial y}{\partial \rho} & \frac{\partial y}{\partial \phi} \end{array}\right)=\text{det}\left(\begin{array}{cc} \cos \phi & -\rho \sin \phi \\ \sin \phi & \rho \cos \phi \end{array}\right)=\rho \cos ^2 \phi+\rho \sin ^2 \phi=\rho \text {. }

und somit haben wir den einfachen "Flächenfaktor" von ρ\rho, hieraus ergibt sich dann für die Integration in Polarkoordinaten

∬Bf(x,y)dxdy=∬Rf(ρ,ϕ)ρdρdϕ.\iint_B f(x, y) d x d y=\iint_R f(\rho, \phi) \rho d \rho d \phi.

2. Für 3-dimensionale Räume

Seien B,R⊂R3B, R \subset \mathbb{R}^3 kompakte Bereiche und sei f:B→Rf: B \rightarrow \mathbb{R} stetig. Sei

x⃗:(uvw)↦(x(u,v,w)y(u,v,w)z(u,v,w))\vec{x}:\left(\begin{array}{c} u \\ v \\ w \end{array}\right) \mapsto\left(\begin{array}{l} x(u, v, w) \\ y(u, v, w) \\ z(u, v, w) \end{array}\right)

eine Transformation mit stetigen partiellen Ableitungen, welche RR surjektiv und (mit möglichen Ausnahmen in Randpunkten von RR ) injektiv auf BB abbildet. Dann gilt

∭Bf(x,y,z)dxdydz=∬Rf(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w))∣det(∂x∂u∂x∂v∂x∂w∂y∂u∂y∂v∂y∂w∂z∂u∂z∂v∂z∂w)∣dudvdw.\begin{aligned} & \iiint_B f(x, y, z) d x d y d z= \\ & \iint_R f(x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w))\left|\text{det}\left(\begin{array}{lll} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} & \frac{\partial x}{\partial w} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} & \frac{\partial y}{\partial w} \\ \frac{\partial z}{\partial u} & \frac{\partial z}{\partial v} & \frac{\partial z}{\partial w} \end{array}\right)\right| d u d v d w . \end{aligned}

Dies ergibt für Kugelkoordinaten der "Volumenfaktor"

dV=rρdrdθdϕ=r2sin⁡θdrdθdϕ,d V=r \rho d r d \theta d \phi=r^2 \sin \theta d r d \theta d \phi,

also das Integral

∭Bf(x,y,z)dxdydz=∭Rf(r,θ,ϕ)r2sin⁡θ drdθdϕ.\iiint_B f(x, y, z) d x d y d z= \iiint_{R} f(r, \theta, \phi) r^{2} \sin \theta \, dr d\theta d\phi.

Für Zylinderkoordinaten

dV=ρdρdϕdz.d V=\rho d \rho d \phi d z.

und somit das Integral

∭Bf(x,y,z)dxdydz=∭Rf(ρ,ϕ,z)ρ dρdϕdz.\iiint_B f(x, y, z) d x d y d z=\iiint_R f(\rho, \phi, z) \rho \, d\rho d\phi dz.

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