Berechnung des mehrdimensionalen Integrals durch Koordinatentransformation
siehe Polarkoordinaten , Kugelkoordinaten , und
Zylinderkoordinaten
1. Für 2-dimensionale Räume
Seien B , R ⊂ R 2 B, R \subset \mathbb{R}^2 B , R ⊂ R 2 f : B → R f: B \rightarrow \mathbb{R} f : B → R
x ⃗ : ( u v ) ↦ ( x ( u , v ) y ( u , v ) ) \vec{x}:\left(\begin{array}{l}
u \\
v
\end{array}\right) \mapsto\left(\begin{array}{c}
x(u, v) \\
y(u, v)
\end{array}\right) x : ( u v ) ↦ ( x ( u , v ) y ( u , v ) ) eine Transformation mit stetigen partiellen Ableitungen, welche R R R R R R B B B
∬ B f ( x , y ) d x d y = ∬ R f ( x ( u , v ) , y ( u , v ) ) ∣ det ( ∂ x ∂ u ∂ x ∂ v ∂ y ∂ u ∂ y ∂ v ) ∣ d u d v \iint_B f(x, y) d x d y=\iint_R f(x(u, v), y(u, v))\left|\text{det}\left(\begin{array}{cc}
\frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\
\frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v}
\end{array}\right)\right| d u d v ∬ B f ( x , y ) d x d y = ∬ R f ( x ( u , v ) , y ( u , v )) det ( ∂ u ∂ x ∂ u ∂ y ∂ v ∂ x ∂ v ∂ y ) d u d v Dies ergibt für Polarkoordinaten
det ( ∂ x ∂ ρ ∂ x ∂ ϕ ∂ y ∂ ρ ∂ y ∂ ϕ ) = det ( cos ϕ − ρ sin ϕ sin ϕ ρ cos ϕ ) = ρ cos 2 ϕ + ρ sin 2 ϕ = ρ . \text{det}\left(\begin{array}{ll}
\frac{\partial x}{\partial \rho} & \frac{\partial x}{\partial \phi} \\
\frac{\partial y}{\partial \rho} & \frac{\partial y}{\partial \phi}
\end{array}\right)=\text{det}\left(\begin{array}{cc}
\cos \phi & -\rho \sin \phi \\
\sin \phi & \rho \cos \phi
\end{array}\right)=\rho \cos ^2 \phi+\rho \sin ^2 \phi=\rho \text {. } det ( ∂ ρ ∂ x ∂ ρ ∂ y ∂ ϕ ∂ x ∂ ϕ ∂ y ) = det ( cos ϕ sin ϕ − ρ sin ϕ ρ cos ϕ ) = ρ cos 2 ϕ + ρ sin 2 ϕ = ρ . und somit haben wir den einfachen "Flächenfaktor" von ρ \rho ρ
∬ B f ( x , y ) d x d y = ∬ R f ( ρ , ϕ ) ρ d ρ d ϕ . \iint_B f(x, y) d x d y=\iint_R f(\rho, \phi) \rho d \rho d \phi. ∬ B f ( x , y ) d x d y = ∬ R f ( ρ , ϕ ) ρ d ρ d ϕ . 2. Für 3-dimensionale Räume
Seien B , R ⊂ R 3 B, R \subset \mathbb{R}^3 B , R ⊂ R 3 f : B → R f: B \rightarrow \mathbb{R} f : B → R
x ⃗ : ( u v w ) ↦ ( x ( u , v , w ) y ( u , v , w ) z ( u , v , w ) ) \vec{x}:\left(\begin{array}{c}
u \\
v \\
w
\end{array}\right) \mapsto\left(\begin{array}{l}
x(u, v, w) \\
y(u, v, w) \\
z(u, v, w)
\end{array}\right) x : u v w ↦ x ( u , v , w ) y ( u , v , w ) z ( u , v , w ) eine Transformation mit stetigen partiellen Ableitungen, welche R R R R R R B B B
∭ B f ( x , y , z ) d x d y d z = ∬ R f ( x ( u , v , w ) , y ( u , v , w ) , z ( u , v , w ) ) ∣ det ( ∂ x ∂ u ∂ x ∂ v ∂ x ∂ w ∂ y ∂ u ∂ y ∂ v ∂ y ∂ w ∂ z ∂ u ∂ z ∂ v ∂ z ∂ w ) ∣ d u d v d w . \begin{aligned}
& \iiint_B f(x, y, z) d x d y d z= \\
& \iint_R f(x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w))\left|\text{det}\left(\begin{array}{lll}
\frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} & \frac{\partial x}{\partial w} \\
\frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} & \frac{\partial y}{\partial w} \\
\frac{\partial z}{\partial u} & \frac{\partial z}{\partial v} & \frac{\partial z}{\partial w}
\end{array}\right)\right| d u d v d w .
\end{aligned} ∭ B f ( x , y , z ) d x d y d z = ∬ R f ( x ( u , v , w ) , y ( u , v , w ) , z ( u , v , w )) det ∂ u ∂ x ∂ u ∂ y ∂ u ∂ z ∂ v ∂ x ∂ v ∂ y ∂ v ∂ z ∂ w ∂ x ∂ w ∂ y ∂ w ∂ z d u d v d w . Dies ergibt für Kugelkoordinaten der "Volumenfaktor"
d V = r ρ d r d θ d ϕ = r 2 sin θ d r d θ d ϕ , d V=r \rho d r d \theta d \phi=r^2 \sin \theta d r d \theta d \phi, d V = r ρ d r d θ d ϕ = r 2 sin θ d r d θ d ϕ , also das Integral
∭ B f ( x , y , z ) d x d y d z = ∭ R f ( r , θ , ϕ ) r 2 sin θ d r d θ d ϕ . \iiint_B f(x, y, z) d x d y d z= \iiint_{R} f(r, \theta, \phi) r^{2} \sin \theta \, dr d\theta d\phi. ∭ B f ( x , y , z ) d x d y d z = ∭ R f ( r , θ , ϕ ) r 2 sin θ d r d θ d ϕ . Für Zylinderkoordinaten
d V = ρ d ρ d ϕ d z . d V=\rho d \rho d \phi d z. d V = ρ d ρ d ϕ d z . und somit das Integral
∭ B f ( x , y , z ) d x d y d z = ∭ R f ( ρ , ϕ , z ) ρ d ρ d ϕ d z . \iiint_B f(x, y, z) d x d y d z=\iiint_R f(\rho, \phi, z) \rho \, d\rho d\phi dz. ∭ B f ( x , y , z ) d x d y d z = ∭ R f ( ρ , ϕ , z ) ρ d ρ d ϕ d z .