Konvergenz im n-dimensionalen Raum der Reellen Zahlen

Eine Folge in $\mathbb{R}^n$ hat die Form

also beispielsweise eine Folge für $n=2$ könnte definiert sein als

Benötigen wir eine Komponente von einem Punkt aus einem Element dieser Folge, so benötigen wir einen zweiten Index:

Definition: Eine Folge heißt Konvergenz von Folgen gegen $\vec{a}$, wenn gilt

d.h. wenn der Abstand (Betrag einer Folge ist der Abstand, siehe Betrag eines Vektors) von der Folge zum Punkt $\vec{a}$ gegen null konvergiert, also mit Fortlaufen der Folge kleiner wird.

Zur Erinnerung, der Betrag unserer Folge ist definiert als

Beispiel: Sei $n=2$ und $\vec{x}_k=\left(\frac{1}{k} \cos k \theta, \frac{1}{k} \sin k \theta\right)$ für ein festes $\theta$. Dann ist

also ist $\lim _{k \rightarrow \infty} \vec{x}_k=\overrightarrow{0}$.

Wir berechnen also zuerst den Betrag unseres Vektorelements in der Folge und betrachten dann sein Verhalten.

1. Komponentenweise Konvergenz

Eine Folge ist nur dann konvergent, wenn alle Komponenten konvergent sind

Beispiel: Für die Folge $\vec{x}_k=\left((-1)^k, \frac{1}{k}\right)$ ist die Folge der ersten Komponenten, also $\left((-1)^k\right)_{k \geq 1}$, nicht konvergent. Daher ist die ganze Folge nicht konvergent.