fabian s. klinke

Konvergenz im n-dimensionalen Raum der Reellen Zahlen

Eine Folge in Rn\mathbb{R}^n hat die Form

(x⃗k)k∈N,\left(\vec{x}_k\right)_{k \in \mathbb{N}},

also beispielsweise eine Folge für n=2n=2 könnte definiert sein als

a⃗k=(3k2k3+7kcos⁡(πk))∈R2.\vec{a}_{k} = \begin{pmatrix} \frac{3k^{2}}{k^{3}+7k} \\ \cos(\pi k) \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{2}.

Benötigen wir eine Komponente von einem Punkt aus einem Element dieser Folge, so benötigen wir einen zweiten Index:

x⃗k=(xk1,…,xkn).\vec{x}_k=\left(x_{k 1}, \ldots, x_{k n}\right).

Definition: Eine Folge heißt Konvergenz von Folgen gegen a⃗\vec{a}, wenn gilt

lim⁡k→∞∣x⃗k−a⃗∣=0,\lim _{k \rightarrow \infty}\left|\vec{x}_k-\vec{a}\right|=0,

d.h. wenn der Abstand (Betrag einer Folge ist der Abstand, siehe Betrag eines Vektors) von der Folge zum Punkt a⃗\vec{a} gegen null konvergiert, also mit Fortlaufen der Folge kleiner wird.

Zur Erinnerung, der Betrag unserer Folge ist definiert als

∣x⃗k−a⃗∣=∑m=1n(xkm−am)2.\left|\vec{x}_k-\vec{a}\right|=\sqrt{\sum_{m=1}^n\left(x_{k m}-a_m\right)^2}.

Beispiel: Sei n=2n=2 und x⃗k=(1kcos⁡kθ,1ksin⁡kθ)\vec{x}_k=\left(\frac{1}{k} \cos k \theta, \frac{1}{k} \sin k \theta\right) für ein festes θ\theta. Dann ist

∣x⃗k−0⃗∣=(1kcos⁡kθ)2+(1ksin⁡kθ)2=1k→0 fu¨r k→∞.\left|\vec{x}_k-\vec{0}\right|=\sqrt{\left(\frac{1}{k} \cos k \theta\right)^2+\left(\frac{1}{k} \sin k \theta\right)^2}=\frac{1}{k} \rightarrow 0 \text { für } k \rightarrow \infty .

also ist lim⁡k→∞x⃗k=0→\lim _{k \rightarrow \infty} \vec{x}_k=\overrightarrow{0}.

Wir berechnen also zuerst den Betrag unseres Vektorelements in der Folge und betrachten dann sein Verhalten.

1. Komponentenweise Konvergenz

Eine Folge ist nur dann konvergent, wenn alle Komponenten konvergent sind

a⃗=lim⁡k→∞x⃗k⟺lim⁡k→∞xkm=am fu¨r alle m.\vec{a}=\lim _{k \rightarrow \infty} \vec{x}_k \Longleftrightarrow \lim _{k \rightarrow \infty} x_{k m}=a_m \text { für alle } m.

Beispiel: Für die Folge x⃗k=((−1)k,1k)\vec{x}_k=\left((-1)^k, \frac{1}{k}\right) ist die Folge der ersten Komponenten, also ((−1)k)k≥1\left((-1)^k\right)_{k \geq 1}, nicht konvergent. Daher ist die ganze Folge nicht konvergent.

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