Bolzano-Weierstraß-Theorem

Jede Folge in einer Kompaktheit in der Topologie Teilmenge $A \subset \mathbb{R}^n$ enthält eine in $A$ konvergente Teilfolge.

Dieses Theorem bedeutet, dass wenn eine beliebige Folge $(\vec{x}_{k})_{k \in \mathbb{N}} \in A \subset \mathbb{R}^n$ in vollständig in einer kompakten Menge liegt, es auch immer eine Teilfolge dieser Folge $(\vec{x}_{k})$ gibt, welche einen Grenzwert in dieser Menge $A$ hat.

Das bedeutet, dass jede Folge $\vec{x}_{k} \in A$, die gegen $\vec{x}$ konvergiert, nicht unbedingt ihren Grenzwert in der Teilmenge $A$ haben muss. Liegt der Grenzwert nicht in der Teilmenge $A$, so ist dieser ein Randpunkt (siehe Topologie im n-dimensionalen Raum der Reellen Zahlen).

Ist jedoch $A$ eine abgeschlossene Menge, so liegt der Grenzwert (falls-er-existiert) immer in $A$.