Integration von Funktionen in mehreren Variablen
Während das Integral im 2-dimensionalem zur Berechnung der Fläche unter einer Funktion dient, können wir
den Integralbegriff auf mehrerer Dimensionen erweitern. Wir können also für eine Funktion von
R 2 → R \mathbb{R}^{2}\to \mathbb{R} R 2 → R
∬ f ( x , y ) d x d y \iint f(x, y)\,dxdy ∬ f ( x , y ) d x d y Ist das Integral vektorwertig, so integrieren wir komponentenweise:
∫ ( f 1 ( x , y ) f 2 ( x , y ) ) d x d y : = ( ∫ f 1 ( x , y ) d x d y ∫ f 2 ( x , y ) d x d y ) \int \left(\begin{array}{c}
f_1(x, y) \\
f_2(x, y)
\end{array}\right) d x d y:=\left(\begin{array}{c}
\int f_1(x, y) d x d y \\
\int f_2(x, y) d x d y
\end{array}\right) ∫ ( f 1 ( x , y ) f 2 ( x , y ) ) d x d y := ( ∫ f 1 ( x , y ) d x d y ∫ f 2 ( x , y ) d x d y ) Des Weiteren gelten auch analog zur "normalen" Integral folgende Rechengelen:
∬ B ( f ( x , y ) + g ( x , y ) ) d x d y = ∬ B f ( x , y ) d x d y + ∬ B g ( x , y ) d x d y , ∬ B λ f ( x , y ) d x d y = λ ∬ B f ( x , y ) d x d y , ∬ B f ( x , y ) d x d y ≤ ∬ B g ( x , y ) d x d y , falls f ≤ g , ∣ ∬ B f ( x , y ) d x d y ∣ ≤ ∬ B ∣ f ( x , y ) ∣ d x d y . \begin{aligned}
\iint_B(f(x, y)+g(x, y)) d x d y & =\iint_B f(x, y) d x d y+\iint_B g(x, y) d x d y, \\
\iint_B \lambda f(x, y) d x d y & =\lambda \iint_B f(x, y) d x d y, \\
\iint_B f(x, y) d x d y & \leq \iint_B g(x, y) d x d y, \quad \text { falls } f \leq g, \\
\left|\iint_B f(x, y) d x d y\right| & \leq \iint_B|f(x, y)| d x d y .
\end{aligned} ∬ B ( f ( x , y ) + g ( x , y )) d x d y ∬ B λ f ( x , y ) d x d y ∬ B f ( x , y ) d x d y ∬ B f ( x , y ) d x d y = ∬ B f ( x , y ) d x d y + ∬ B g ( x , y ) d x d y , = λ ∬ B f ( x , y ) d x d y , ≤ ∬ B g ( x , y ) d x d y , falls f ≤ g , ≤ ∬ B ∣ f ( x , y ) ∣ d x d y . es verhält sich also wie das bereits bekannte Intergral im zwei-dimensionalem.