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Integration von Funktionen in mehreren Variablen

Während das Integral im 2-dimensionalem zur Berechnung der Fläche unter einer Funktion dient, können wir den Integralbegriff auf mehrerer Dimensionen erweitern. Wir können also für eine Funktion von R2→R\mathbb{R}^{2}\to \mathbb{R} über das Integral das Volumen unter dieser Funktion berechnen. Wir schreiben hierfür

∬f(x,y) dxdy\iint f(x, y)\,dxdy

Ist das Integral vektorwertig, so integrieren wir komponentenweise:

∫(f1(x,y)f2(x,y))dxdy:=(∫f1(x,y)dxdy∫f2(x,y)dxdy)\int \left(\begin{array}{c} f_1(x, y) \\ f_2(x, y) \end{array}\right) d x d y:=\left(\begin{array}{c} \int f_1(x, y) d x d y \\ \int f_2(x, y) d x d y \end{array}\right)

Des Weiteren gelten auch analog zur "normalen" Integral folgende Rechengelen:

∬B(f(x,y)+g(x,y))dxdy=∬Bf(x,y)dxdy+∬Bg(x,y)dxdy,∬Bλf(x,y)dxdy=λ∬Bf(x,y)dxdy,∬Bf(x,y)dxdy≤∬Bg(x,y)dxdy, falls f≤g,∣∬Bf(x,y)dxdy∣≤∬B∣f(x,y)∣dxdy.\begin{aligned} \iint_B(f(x, y)+g(x, y)) d x d y & =\iint_B f(x, y) d x d y+\iint_B g(x, y) d x d y, \\ \iint_B \lambda f(x, y) d x d y & =\lambda \iint_B f(x, y) d x d y, \\ \iint_B f(x, y) d x d y & \leq \iint_B g(x, y) d x d y, \quad \text { falls } f \leq g, \\ \left|\iint_B f(x, y) d x d y\right| & \leq \iint_B|f(x, y)| d x d y . \end{aligned}

es verhält sich also wie das bereits bekannte Intergral im zwei-dimensionalem.

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