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Hesse-Form

Die Hesse-Form ist die Summe aller zweiten Ableitungen um den kritischen Punkt x⃗\vec{x}:

hessx⃗f(u⃗):=∑i,j∂2f∂xi∂xj(x⃗)uiuju⃗∈Rn\text{hess}_{\vec{x}} f(\vec{u}):=\sum_{i, j} \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}(\vec{x}) u_i u_j \quad \vec{u} \in \mathbb{R}^n

Beispiel: Wir haben die einfache Funktion f(x,y)=x2+y2f(x, y) = x^{2} + y^{2}, so bekommen wir den Gradient einer Funktion

∇f(x,y)=(2x2y)\nabla f(x, y) = \begin{pmatrix} 2x \\ 2y \end{pmatrix}

und die Hesse-Matrix

Hf(x,y)=(2002).H_{f}(x, y) = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}.

Hieraus ergibt sich dann die Hesseform

hessf(u⃗)=2ux2+2uy2.\text{hess}_{f}(\vec{u}) = 2u_{x}^{2} + 2u_{y}^{2}.

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