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Rechenregeln zur mehrdimensionalen Differenzialrechnung

Siehe auch die Kettenregel.

Die Differenzialrechnung ist für Summen und Vielfachen einfach, es gilt wie bei eindimensionalen Funktionen:

(f⃗+g⃗)′=f⃗′+g⃗′(λf⃗)′=λf⃗.\begin{aligned} (\vec{f} + \vec{g})' &= \vec{f}' + \vec{g}'\\ (\lambda \vec{f})' &= \lambda \vec{f}. \end{aligned}

für die Produktregel wird es etwas ausführlicher, hier müssen wir zunächst die verschiedenen Produkttypen, die überhaupt möglich sind unterscheiden.

Handelt es sich bei ff um eine reellwertige, also eine skalare Funktion (Skalarfeld), so gilt

(fg⃗)(x⃗):=f(x⃗)g⃗(x⃗).(f \vec{g})(\vec{x}):=f(\vec{x}) \vec{g}(\vec{x}).

Hierfür ergibt sich dann folgendes Differenzial

∂(fg⃗)∂xj=∂f∂xjg⃗+f∂g⃗∂xj.\frac{\partial(f \vec{g})}{\partial x_j}=\frac{\partial f}{\partial x_j} \vec{g}+f \frac{\partial \vec{g}}{\partial x_j}.

Für das Skalarprodukt zweier Funktionen gilt entsprechend

∂(f⃗⋅g⃗)∂xj=∂f⃗∂xj⋅g⃗+f⃗⋅∂g⃗∂xj\frac{\partial(\vec{f} \cdot \vec{g})}{\partial x_j}=\frac{\partial \vec{f}}{\partial x_j} \cdot \vec{g}+\vec{f} \cdot \frac{\partial \vec{g}}{\partial x_j}

Das Vektoroder auch Kreuzprodukt ist ohnehin lediglich für Funktionen definiert, für die gilt, dass f⃗\vec{f} und g⃗∈R3\vec{g} \in \mathbb{R}^{3}. Zur Erinnerung:

(f1⋮f3)×(g1⋮g3)=(f2g3−f3g2f3g1−f1g3f1g2−f2g1)\left(\begin{array}{c} f_1 \\ \vdots \\ f_3 \end{array}\right) \times\left(\begin{array}{c} g_1 \\ \vdots \\ g_3 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} f_2 g_3-f_3 g_2 \\ f_3 g_1-f_1 g_3 \\ f_1 g_2-f_2 g_1 \end{array}\right)

hier gilt nun für die Ableitung:

∂(f⃗×g⃗)∂xj=∂f⃗∂xj×g⃗+f⃗×∂g⃗∂xj.\frac{\partial(\vec{f} \times \vec{g})}{\partial x_j}=\frac{\partial \vec{f}}{\partial x_j} \times \vec{g}+\vec{f} \times \frac{\partial \vec{g}}{\partial x_j} .

Für den [Gradient Einer Funktion] gilt

gradx⃗(fg)=g(x⃗)gradx⃗f+f(x⃗)gradx⃗g\text{grad}_{\vec{x}}(f g)=g(\vec{x}) \text{grad}_{\vec{x}} f+f(\vec{x}) \text{grad}_{\vec{x}} g

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