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Gradient einer Funktion

siehe Partielle Ableitung

Der Gradient ist ein Vektor mit den Partielle Ableitung als Komponenten eines Skalarfeld. Dieser Vektor zeigt in an der Stelle x⃗\vec{x} in die Richtung des höchsten Anstiegs.

Definition: Für eine differenzierbare skalare Funktion f:D→R,D∈Rnf: D \to \mathbb{R}, D \in \mathbb{R}^n heißt

gradx⃗f:=∇⃗x⃗f:=(∂f∂x1(x⃗)⋮∂f∂xn(x⃗))=(∂f∂x1(x⃗),…,∂f∂xn(x⃗))T\text{grad}_{\vec{x}} f:=\vec{\nabla}_{\vec{x}} f:=\left(\begin{array}{c} \frac{\partial f}{\partial x_1}(\vec{x}) \\ \vdots \\ \frac{\partial f}{\partial x_n}(\vec{x}) \end{array}\right)=\left(\frac{\partial f}{\partial x_1}(\vec{x}), \ldots, \frac{\partial f}{\partial x_n}(\vec{x})\right)^T

Der Nabla-Operator ∇\nabla wird hier auf ein Skalarfeld angewendet und erzeugt ein Vektorfeld.

Gradient um ff an der Stelle x⃗\vec{x}.

Mithilfe des Gradienten kann man auch die Ableitung in eine bestimmte Richtung u⃗\vec{u}, wobei ∣u⃗∣=1|\vec{u}|=1, berechnen:

∇x⃗f⋅u⃗=∂f∂u⃗.\nabla_{\vec{x}}f \cdot \vec{u} = \frac{ \partial f }{ \partial \vec{u} } .

Ein Beispiel:

f(x,y,z)=x2y+ye3zgradx,y,zf=(2xyx2+e3z3ye3z)f(x, y, z) = x^{2}y + y e^{3z} \quad grad_{x, y, z}f = \begin{pmatrix} 2xy \\ x^{2} + e^{3z} \\ 3y e^{3z} \end{pmatrix}

1. Geometrische Bedeutung Des Gradienten

  1. Der Gradient zeigt in Richtung des stärksten Anstiegs (-> deswegen interessant in ML Trainingsfunktionen!)
  2. die Länge des Gradienten ist der stärkste Anstieg.
  3. Die Funktion fällt entgegengesetzt zum Gradienten am stärksten ab.
  4. Der Gradient steht senkrecht (orthogonal) auf den Niveaus.

2. Ein Beispiel

f(x,y,z)=e5ysin⁡(x)+2zf(x, y, z) = e^{ 5y } \sin(x) + 2z ∇f(x,y,z)=[e5ycos⁡(x)5e5ysin⁡(x)2]\nabla f(x, y, z) = \begin{bmatrix} e^{ 5y } \cos(x) \\ 5e^{ 5y } \sin(x) \\ 2 \end{bmatrix} ∇f(0,1,0)=[e502]\nabla f(0, 1, 0) = \begin{bmatrix} e^{ 5 } \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix} ∂f∂v(0,1,0)=⟨[e502],13[221]⟩=23(e5+1)\frac{ \partial f }{ \partial v } (0, 1, 0) = \left\langle \begin{bmatrix} e^{ 5 } \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix}, \frac{1}{3} \begin{bmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} \right\rangle = \frac{2}{3} (e^{ 5 } + 1)

wenn unsere Abbildung selbst ein Vektor ist, erhalten wir eine Matrix, in welcher wir in jeder Spalte den Vektor nach der gegebenen Variable ableiten.

g(x,y,z)=[e3xz2x+2y+3z]g(x, y, z) = \begin{bmatrix} e^{ 3x } z^{2} \\ x + 2y + 3z \end{bmatrix} ∇g(x,y,z)=[3e3xz202e3xz123]\nabla g(x, y, z) = \begin{bmatrix} 3 e^{ 3x }z^{2} & 0 & 2e^{ 3x }z \\ 1 & 2 & 3 \end{bmatrix}

Der Gradient der Funktion ist die Richtung des steilsten Anstiegs.

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