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Flussintegrale

siehe Oberflächenintegral und Vektorfeld

dO⃗:=∂x⃗∂u×∂x⃗∂vdudv\vec{d O}:=\frac{\partial \vec{x}}{\partial u} \times \frac{\partial \vec{x}}{\partial v} d u d v

Wir definieren das Flussintegral also wie folgt

∬Fv⃗⋅dO⃗:=∬x⃗v⃗⋅dO⃗:=∬Bv⃗(x⃗(u,v))⋅(∂x⃗∂u×∂x⃗∂v)dudv.\iint_F \vec{v} \cdot \vec{d O}:=\iint_{\vec{x}} \vec{v} \cdot \vec{d O}:=\iint_B \vec{v}(\vec{x}(u, v)) \cdot\left(\frac{\partial \vec{x}}{\partial u} \times \frac{\partial \vec{x}}{\partial v}\right) d u d v.

Als anschauliches Verständnis, stellen wir uns einen Fluss von Wasser vor, dieser ist gegeben durch ein Vektorfeld, da hier jedem Punkt im Raum ein Geschwindigkeitsvektor zugewiesen wird, mit einer Richtung und einem Betrag. Nun wollen wir den "Fluss" durch eine Oberfläche berechnen.

Wir multiplizieren also alle Vektoren in diesem Vektorfeld mit der Normale auf der Oberfläche, was uns also die Komponente gibt, die durch diese Oberfläche fließt, und addieren alle diese.

In einem einfachen Beispiel können wir uns also wieder einen Fluss vorstellen, von welchem wir nun wissen wollen, welche Wassermasse in einer bestimmten Zeit hindurchfließt, hierfür könnte man folgendes Flussintegral aufstellen:

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