Kompaktheit in der Topologie

Eine Menge heißt in der Topologie dann kompakt, wenn sie sowohl geschlossen ist, also alle ihre Randpunkte enthält (siehe Offene vs. Geschlossene Menge), als auch beschränkt ist.

Formaler definiert wird die Kompaktheit dadurch, dass wir unsere Menge mit vorerst unendlich vielen offenen Intervallen "überdecken", aus diesen offenen Intervallen jedoch eine endliche Anzahl an Intervallen wählen können, um unsere Menge einzufassen.

Als Beispiel haben wir also hier das geschlossene Intervall von $[1, 10]$, welches seine Randpunkte 1 und 10 auch einschließt. Wir überdecken es nun mit den 3 offenen Intervallen $I_{1}, I_{2}, I_{3}$ und sehen, dass eine endliche Anzahl ausreicht.

Ein klassisches Beispiel einer nicht kompakten Menge sind die Reellen Zahlen, welche nicht durch eine endliche Zahl an Unterüberbrückungen abgedeckt werden kann.

$[I_n] : n$ ist eine ganze Zahl, und $I_n = ]n-1, n+1[$