fabian s. klinke

Beweis der Stetigkeit

Gegeben sei die Funktion

f:R2→R,f(x,y)={y2∣x∣+∣y∣ falls (x,y)∈R2\{(0,0)}0 fu¨r x=y=0.f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}, \quad f(x, y)= \begin{cases}\frac{y^2}{|x|+|y|} & \text { falls } \quad(x, y) \in \mathbb{R}^2 \backslash\{(0,0)\} \\ 0 & \text { für } x=y=0 .\end{cases}
  1. ff ist als komposition stetiger Funktionen stetig für alle Rn∖(0,0)\mathbb{R}^n \setminus (0, 0).
  2. Sei (xn,yn)n∈N(x_{n}, y_{n})_{n \in \mathbb{N}} mit lim⁡n→∞(xn,yn)=0\lim_{ n \to \infty } (x_{n}, y_{n}) = 0 und (xn,yn)≠0∀n∈N(x_{n}, y_{n}) \neq 0 \quad \forall n \in \mathbb{N} müssen wir zeigen, dass
f(0,0)=0=lim⁡n→∞(xn,yn)=lim⁡n→∞yn2∣xn∣+∣yn∣f(0, 0) = 0 = \lim_{ n \to \infty } (x_{n}, y_{n}) = \lim_{ n \to \infty } \frac{y_{n}^{2}}{|x_{n}| + |y_{n}|}

wir betrachten also zuerst die gesamte Funktion und ihre Komposition aus stetigen Funktionen, und betrachten danach das Verhalten des Grenzwertes unserer Folge. Wenn dieser an der untersuchten Stelle mit dem Wert der Funktion übereinstimmt, so ist die Funktion stetig.

Alternativ genügt auch ein Gegenbeispiel von einer gesetzten Folge, da wir so zeigen können, dass es schonmal mindestens eine gibt für welche dies nicht gilt, udn somit es nicht für alle gilt.

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