Offene vs. Geschlossene Menge

Eine offene Menge ist jede Menge, in welcher jeder Punkt eine beliebig große Umgebung hat, welche immer noch Teilmenge der offenen Menge ist. Also jede Menge, welche ==keine ihrer Randpunkte== enthält, ist eine offene Menge.

Ein Beispiel hierfür wäre also das offene Intervall $]0, 1[$ welches keine seiner Randpunkte enthält, da es unendlich viele kleine Teilmengen um einen beliebigen Punkt gibt, welcher immer noch in der Menge enthalten ist.

Eine geschlossene Menge ist dann somit jede Menge, die ihre Randpunkte enthält. Ein geschlossenes Intervall wäre hier ein vergleichbares Beispiel.

Mengen, welche einen oder mehrere, aber ==nicht alle ihre Randpunkte== enthält, ist weder offen noch geschlossen. Dies ist zum Beispiel der Fall bei halboffenen Intervallen wie $]0, 1]$.

Achtung bei Unendlichkeit: Wenn ein Intervall bis nach unendlich geht, ist es in diese Richtung geschlossen, da unendlich alle Zahlen einschließt.