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Totales Differenzial

Eine Funktion gilt dann als total differenzierbar, wenn alle ihre partiellen Ableitung existieren und zusätzlich auch stetig sind (siehe Stetigkeit von Funktionen). Ist mindestens eine der partiellen Ableitungen nicht stetig, so muss man die Differenzierbarkeit durch die Existenz des Fehler-Grenzwertes nachweisen.

Ist eine Funktion total differenzierbar, so ergibt sich die Ableitungsmatrix aus den komponentenweisen Partielle Ableitung der Funktion:

f⃗′(x⃗)=(∂f1∂x1(x⃗)…∂f1∂xn(x⃗)∂fm∂x1(x⃗)…∂fm∂xn(x⃗))\vec{f}^{\prime}(\vec{x})=\left(\begin{array}{lll} \frac{\partial f_1}{\partial x_1}(\vec{x}) & \ldots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n}(\vec{x}) \\ \frac{\partial f_m}{\partial x_1}(\vec{x}) & \ldots & \frac{\partial f_m}{\partial x_n}(\vec{x}) \end{array}\right)

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