Lineare Abbildungen

Lineare Abbildungen sind einfache Abbildungen von $\mathbb{R}^n$ nach $\mathbb{R}^m$ durch eine Abbildungsmatrix $A$ . Die Matrix $A$ ist dann gegeben durch eine $m \times n$ Matrix

A=\left(\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1 n} \\ \vdots & \vdots & \ldots & \vdots \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \ldots & a_{m n} \end{array}\right)

Eine solche lineare Abbildung ergibt sich dann also in die Form von

A \vec{x}=\left(\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1 n} \\ \vdots & \vdots & \ldots & \vdots \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \ldots & a_{m n} \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} x_1 \\ \vdots \\ \vdots \\ x_n \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} a_{11} x_1+a_{12} x_2+\ldots+a_{1 n} x_n \\ \vdots \\ a_{m 1} x_1+a_{m 2} x_2+\ldots+a_{m n} x_n \end{array}\right)

Lineare Abbildungen haben die charakteristischen Eigenschaften von

\begin{aligned} A(c \vec{x})&=c A \vec{x} \\ A(\vec{x}+\vec{y})&=A \vec{x}+A \vec{y}, \end{aligned}

sie folgen also den Grundbedingungen der linearen Algebra (siehe Euklidischer Raum). Sie sind also abgeschlossen in der Skalarmultiplikation und Vektoraddition.

Lineare Abbildungen gehören zu den einfachsten Abbildungen in der Analysis II.

Beispiel: Für $m=1$ ist $A=\left(a_1 \ldots a_n\right)$ und

A \vec{x}=a_1 x_1+\ldots+a_n x_n=\vec{a} \cdot \vec{x} .

so ist für $n=3$ etwa $A\left(\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right)=2 x-y+7 z$ eine solche Abbildung.

Lineare Abbildungen

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