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Differentiation

Allgemein ist die Differentialrechnung eine Approximation einer Funktion ff an einer Stelle x0x_{0} durch eine Tangente. Wir können also die Funktion f(x)f(x) durch eine lineare Funktion der Form mx+bmx+b in der Nähe der Stelle x0x_{0} approximieren durch

f(x)≈f′(x0)⋅(x−x0)+f(x0).f(x) \approx f'(x_{0}) \cdot (x-x_{0}) + f(x_{0}).

In dieser Approximation verbleibt ein Fehler ϵ\epsilon, welcher durch die Differenz zwischen dem eigentlichen Funktionswert und unserer Approximation gegeben ist. Für diesen Fehler gilt, dass er immer kleiner wird, desto näher wir uns an die Stelle x0x_{0} begeben, also

lim⁡x→x0ϵx−x0=0.\lim_{ x \to x_{0}} \frac{\epsilon}{x-x_{0}} =0.

Wir können diesen Sachverhalt auch so darstellen:

f(x+Δx)≈f(x)+f′(x)Δx mit lim⁡Δx→0 Fehler Δx=0f(x+\Delta x) \approx f(x)+f^{\prime}(x) \Delta x \quad \text { mit } \lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\text { Fehler }}{\Delta x}=0

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