fabian s. klinke

Polarkoordinaten

 Polarkoordinaten x=ρcos⁡ϕy=ρsin⁡ϕρ=x2+y2∂ρ∂x=xρ∂ρ∂y=yρ∂ϕ∂x=−sin⁡ϕρ∂ϕ∂y=cos⁡ϕρ\begin{array}{|l|l|l|} \hline \text { Polarkoordinaten } & \begin{array}{l} x=\rho \cos \phi \\ y=\rho \sin \phi \end{array} & \rho=\sqrt{x^2+y^2} \\ \hline \hline \frac{\partial \rho}{\partial x}=\frac{x}{\rho} & \frac{\partial \rho}{\partial y}=\frac{y}{\rho} & \\ \hline \frac{\partial \phi}{\partial x}=\frac{-\sin \phi}{\rho} & \frac{\partial \phi}{\partial y}=\frac{\cos \phi}{\rho} & \\ \hline \end{array}

Das Polarkoordinatensystem beschreibt einen Punkt durch den Abstand zum Ursprung ρ\rho und einen Winkel ϕ\phi zur x-Achse.

Um zwischen dem karteischen und Polarkoordinaten zu wechseln gibt es folgende Formeln zum Umrechnen:

x=ρcos⁡ϕy=ρsin⁡ϕρ=x2+y2\begin{aligned} x &= \rho \cos \phi\\ y &= \rho \sin \phi \\ \rho &= \sqrt{ x^{2} + y^{2} } \end{aligned}

Um den Winkel zu berechnen benötigen wir für jeden Quadraten einen eigenen Zusammenhang

ϕ={arctan⁡yx fu¨r x>0(arctan⁡yx)+π fu¨r x<0,y≥0(arctan⁡yx)−π fu¨r x<0,y<0+π/2 fu¨r x=0,y>0−π/2 fu¨r x=0,y<0\phi= \begin{cases}\arctan \frac{y}{x} & \text { für } x>0 \\ \left(\arctan \frac{y}{x}\right)+\pi & \text { für } x<0, y \geq 0 \\ \left(\arctan \frac{y}{x}\right)-\pi & \text { für } x<0, y<0 \\ +\pi / 2 & \text { für } x=0, y>0 \\ -\pi / 2 & \text { für } x=0, y<0\end{cases}

Wir können auch hier Differentialrechnung betreiben: siehe Differentiation in Polarkoordinaten.

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