Navier-Stokes-Gleichungen

Die Navier-Stokes-Gleichungen beschreiben die Bewegung von Fluiden (Flüssigkeiten und Gasen). In der Akustik werden sie verwendet, um Schallwellen in der Luft zu modellieren.

1. Massenerhaltung

Diese Gleichung beschreibt die Erhaltung der Masse in einem Fluid. Sie sagt aus, dass die Änderung der Dichte über die Zeit gleich der Divergenz der Geschwindigkeit ist.

• $\rho$: Dichte des Mediums (kg/m³)
• $t$: Zeit (s)
• $v$: Geschwindigkeitsvektor (m/s)
• $v_x, v_y, v_z$: Geschwindigkeitskomponenten in x-, y-, z-Richtung
• $\nabla v$: Divergenz der Geschwindigkeit (räumliche Änderung), wobei $\nabla$ der Nabla-Operator ist

-> Wenn sich die Dichte an einem Punkt ändert, muss sich auch die Geschwindigkeit des Fluids ändern, um die Massenerhaltung zu gewährleisten.

2. Adiabatische Zustandsgleichung

Diese Gleichung beschreibt den Zusammenhang zwischen Druck und Dichte bei adiabatischen Prozessen (ohne Wärmeaustausch).

• $p$: Druck (Pa)
• $p_0$: Referenzdruck (Umgebungsdruck)
• $\rho_{\sim}$: Dichteschwankung (Abweichung von der Gleichgewichtsdichte)
• $\rho_0$: Referenzdichte (Gleichgewichtsdichte)
• $\kappa$: Adiabatenexponent (für Luft ≈ 1.4)

-> Bei Schallwellen erfolgt die Kompression und Expansion so schnell, dass kein Wärmeaustausch stattfindet. Der Druck ändert sich proportional zur Dichteänderung.

3. Trägheitsgleichung

Diese Gleichung beschreibt die Beschleunigung eines Fluidelements aufgrund von Druckgradienten (Newton's zweites Gesetz für Fluide).

• $\nabla p$: Druckgradient (räumliche Änderung des Drucks)
• $\rho$: Dichte des Mediums
• $\frac{\partial v}{\partial t}$: Beschleunigung des Fluids

-> Ein Druckunterschied in der Luft führt zu einer Beschleunigung des Fluids in Richtung des niedrigeren Drucks. Dies ist die Grundlage für die Ausbreitung von Schallwellen.

4. Wellengleichung

Diese Gleichung beschreibt die Ausbreitung von Schallwellen im dreidimensionalen Raum.

• $c$: Schallgeschwindigkeit (≈ 343 m/s in Luft bei 20°C)
• $\frac{\partial^2 p}{\partial t^2}$: Zweite zeitliche Ableitung des Drucks (Beschleunigung der Druckschwankung)
• $\Delta p$: Laplace-Operator angewendet auf den Druck (räumliche Krümmung)
• $\frac{\partial^2 p}{\partial x^2}, \frac{\partial^2 p}{\partial y^2}, \frac{\partial^2 p}{\partial z^2}$: Zweite räumliche Ableitungen in x-, y-, z-Richtung

-> Die zeitliche Änderung der Druckschwankung ist proportional zur räumlichen Krümmung des Druckfelds. Dies führt zu einer Wellenausbreitung mit der Geschwindigkeit c. Schallwellen sind Druckwellen, die sich durch das Medium ausbreiten.