Ersatzschaltbild von Leitungen

Elektrische Leitungen besitzen parasitäre Eigenschaften, die bei höheren Frequenzen und längeren Kabeln das übertragene Audiosignal beeinflussen können. Das Ersatzschaltbild modelliert diese Effekte durch konzentrierte Bauelemente.

1. Leitungsparameter

1.1. Primäre Leitungsparameter

Pro Längeneinheit (typisch pro km):

• Widerstandsbelag $R'$ (Ω/km): Ohmscher Verlust der Leiter
• Induktivitätsbelag $L'$ (H/km): Magnetische Feldenergie um die Leiter
• Kapazitätsbelag $C'$ (F/km): Elektrische Feldenergie zwischen den Leitern
• Ableitungsbelag $G'$ (S/km): Verluste im Dielektrikum (meist vernachlässigbar)

1.2. Frequenzabhängigkeit

Skin-Effekt: Bei höheren Frequenzen konzentriert sich der Strom auf die Leiteroberfläche

$R'(f) = R'_{DC} \sqrt{\frac{f}{f_{ref}}}$

Proximität-Effekt: Stromverteilung wird durch benachbarte Leiter beeinflusst

2. Ersatzschaltbild-Modelle

2.1. Konzentrierte Elemente (Lumped Elements)

Kurze Leitungen (< λ/10):

Quelle ----[R_s]----[L_s]----+----[R_L]---- Last
                              |
                            [C_p]
                              |
                             GND

wobei:

• $R_s = R' \cdot l$ (Serienwiderstand)
• $L_s = L' \cdot l$ (Serieninduktivität)
• $C_p = C' \cdot l$ (Parallelkapazität)

2.2. Verteilte Elemente (Distributed Elements)

Lange Leitungen (> λ/10): Modellierung durch unendlich viele infinitesimale Segmente

2.3. π-Ersatzschaltbild

Mittlere Leitungslängen:

        R_s    L_s
Quelle --[R]--[L]--+--[R]-- Last
          |         |        |
        [C/2]     [C]      [C/2]
          |         |        |
         GND       GND      GND

3. Übertragungsverhalten

3.1. Charakteristische Impedanz

$Z_0 = \sqrt{\frac{R' + j\omega L'}{G' + j\omega C'}}$

Verlustlose Leitung (R' ≈ 0, G' ≈ 0): $Z_0 = \sqrt{\frac{L'}{C'}}$

3.2. Ausbreitungskonstante

$\gamma = \alpha + j\beta = \sqrt{(R' + j\omega L')(G' + j\omega C')}$

wobei:

• $\alpha$ = Dämpfungskonstante (Np/m)
• $\beta$ = Phasenkonstante (rad/m)

3.3. Übertragungsfunktion

$H(\omega) = \frac{V_{out}}{V_{in}} = \frac{Z_L}{Z_L + Z_0 \tanh(\gamma l)}$

4. Typische Kabelparameter

4.1. Mikrofonkabel (symmetrisch)

Konstruktion: 2 × 0,22 mm² + Schirm

• $R'$ ≈ 150 Ω/km (pro Ader)
• $L'$ ≈ 0,6 mH/km
• $C'$ ≈ 100 pF/m (zwischen den Adern)
• $Z_0$ ≈ 75 Ω

4.2. Instrumentenkabel (unsymmetrisch)

Konstruktion: 1 × 0,22 mm² + Schirm

• $R'$ ≈ 150 Ω/km
• $L'$ ≈ 0,5 mH/km
• $C'$ ≈ 200 pF/m (Innenleiter gegen Schirm)
• $Z_0$ ≈ 50 Ω

4.3. Lautsprecherkabel

Konstruktion: 2 × 1,5 mm² parallel

• $R'$ ≈ 25 Ω/km (pro Ader)
• $L'$ ≈ 1 mH/km
• $C'$ ≈ 50 pF/m
• Niederohmig: $Z_0$ nicht relevant bei kurzen Längen

5. Frequenzeffekte

5.1. Tiefpass-Verhalten

RC-Tiefpass durch Serienwiderstand und Parallelkapazität:

$f_c = \frac{1}{2\pi R_{ges} C_{kabel}}$

Beispiel: 100 m Mikrofonkabel mit 2,2 kΩ Quellwiderstand:

• $C = 10$ nF, $R = 2,35$ kΩ
• $f_c ≈ 6,8$ kHz

5.2. Induktive Verluste

Serieninduktivität verursacht Hochfrequenz-Dämpfung:

$X_L = 2\pi f L = 2\pi f L' l$

Beispiel: 50 m Kabel bei 20 kHz:

• $X_L = 2\pi \cdot 20000 \cdot 0,6 \cdot 10^{-3} \cdot 0,05 ≈ 3,8$ Ω

5.3. Hauteffekt (Skin Effect)

Eindringtiefe: $\delta = \sqrt{\frac{2}{\omega \mu \sigma}}$

Bei Kupfer und 20 kHz: $\delta ≈ 0,47$ mm

6. Signalintegritäts-Aspekte

6.1. Reflexionen

Impedanz-Mismatch an Leitungsenden:

$\Gamma_L = \frac{Z_L - Z_0}{Z_L + Z_0}$

Vollständige Reflexion ($\Gamma = 1$): Offenes Leitungsende Keine Reflexion ($\Gamma = 0$): Angepasste Last $Z_L = Z_0$

6.2. Standing Wave Ratio (SWR)

$SWR = \frac{1 + |\Gamma|}{1 - |\Gamma|}$

Audio-Anwendungen: SWR meist unkritisch durch niedrige Impedanzen

6.3. Laufzeiten

Signallaufzeit: $t_d = l \sqrt{L' C'} = \frac{l}{v_p}$

Phasengeschwindigkeit: $v_p = \frac{1}{\sqrt{L' C'}} ≈ 0,6 \ldots 0,8 \cdot c_0$

7. Praktische Auswirkungen

7.1. Dämpfung

Hochfrequenz-Verluste durch:

• Widerstandsbelag $R'$
• Dielektrische Verluste
• Hauteffekt

Kompensation: Entzerrung oder kürzere Kabel

7.2. Übersprechen (Crosstalk)

Kapazitive Kopplung zwischen benachbarten Leitern:

$X_C = \frac{1}{2\pi f C_{kopplung}}$

Minimierung: Schirmung und größere Leiterabstände

7.3. Erdschleifen

Masseverbindungen über Kabelschirm können Brummschleifen verursachen Lösung: Symmetrische Übertragung

8. Messtechnik

8.1. TDR (Time Domain Reflectometry)

Prinzip: Impulsmessung zur Charakterisierung von Leitungsparametern Anwendung: Kabelprüfung und Fehlerortung

8.2. Netzwerkanalyse

S-Parameter-Messung für komplexe Übertragungscharakteristik Frequenzbereich: DC bis GHz-Bereich

8.3. Kabelprüfgeräte

Spezielle Audio-Tester:

• Widerstandsmessung
• Kapazitätsmessung
• Isolationsprüfung
• Schirmungsqualität

Das Ersatzschaltbild von Leitungen ist essentiell für das Verständnis der Signalübertragungsqualität in professionellen Audiosystemen und die systematische Analyse von übertragungsbedingten Problemen.