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HA01: Signalverarbeitung Grundlagen

1. Überblick

Diese Hausaufgabe führte systematisch in die fundamentalen Konzepte der digitalen Signalverarbeitung ein. Schwerpunkte waren Signalerzeugung, Spektralanalyse, LTI-Systemidentifikation und nichtlineare Systemcharakterisierung mittels Klirrfaktormessungen.

2. Aufgabe 1: Signalerzeugung, Spektren und Signaleigenschaften

2.1. Grundlegende Signalverarbeitungsfunktionen

RMS-Berechnung (Root Mean Square):

def rms(x: Union[pf.Signal, np.array]) -> Union[np.array, float]:
    if isinstance(x, pf.Signal):
        x = x.time
    x_rms = np.sqrt(np.mean(x ** 2, axis=-1))
    return x_rms.item() if x_rms.shape == (1,) else x_rms

Peak-Amplituden-Detektion:

def peak(x: Union[pf.Signal, np.array]) -> Union[np.array, float]:
    if isinstance(x, pf.Signal):
        x = x.time
    x_peak = np.max(np.abs(x), axis=-1)
    return x_peak.item() if x_peak.shape == (1,) else x_peak

2.2. A-Bewertungsfilter

def A_weighting(x: pf.Signal) -> pf.Signal:
    time_data = x.time
    a_weighted_data = wa.A_weight(signal=time_data, fs=x.sampling_rate)
    return pf.Signal(a_weighted_data, x.sampling_rate)

Anwendung: Psychoakustische Gewichtung entsprechend menschlicher Hörempfindlichkeit.

2.3. Signaltyp-Vergleich

Testsignale:

  • Sinuswelle (1 kHz): Deterministisches Referenzsignal
  • Weißes Rauschen: Gleichmäßige spektrale Energieverteilung
  • Rosa Rauschen: 1/f-spektrale Charakteristik

Spektrale Eigenschaften:

  • Sinus: Einzelne Spektrallinie bei 1 kHz
  • Weiß: Flaches Spektrum über gesamten Frequenzbereich
  • Rosa: 3 dB/Oktave Abfall zu höheren Frequenzen

2.4. Fenster-Effekte und Korrekturfaktoren

Fensterarten und deren Auswirkungen:

  • Rechteck: Maximale Frequenzauflösung, starke Leckage
  • Hann: Kompromiss zwischen Auflösung und Leckage-Unterdrückung
  • Dreieck: Geringe Leckage, reduzierte Auflösung

Korrekturfaktoren:

# Amplitude Correction Factor
ACF = np.sum(window) / len(window)
corrected_amplitude = measured_amplitude / ACF

# Energy Correction Factor  
ECF = np.sqrt(np.sum(window**2) / len(window))
corrected_energy = measured_energy / ECF

3. Aufgabe 2: LTI-Systemanalyse

3.1. Systemidentifikation durch Dekonvolution

Grundprinzip: Unbekanntes System durch Impulsantwort charakterisieren

# Input-Output-Aufnahme
system_input = pf.io.read_audio('system_input.wav')
system_output = pf.io.read_audio('system_output.wav')

# Dekonvolution zur Impulsantwort-Extraktion
impulse_response = pf.dsp.deconvolve(system_output, system_input)

3.2. Regularisierte Dekonvolution

# Robuste Lösung bei schwacher Anregung
frequency_range = (50, 15000)  # Gültiger Frequenzbereich
impulse_response_reg = pf.dsp.deconvolve(
    system_output, system_input,
    regularization=frequency_range
)

Notwendigkeit: Verhindert numerische Instabilitäten wenn Eingangssignal bei bestimmten Frequenzen schwach ist.

3.3. Time-Frequency Analyse

  • Zeitbereich: Impulscharakteristik und Einschwinverhalten
  • Frequenzbereich: Übertragungsfunktion und Systemresonanzen
  • Kombinierte Darstellung: Simultane Zeit-Frequenz-Visualisierung

4. Aufgabe 3: Nichtlineare Systemanalyse und Klirrfaktormessung

4.1. THD_R (Referenced to Total RMS)

def thd_r(x: pf.Signal, f_0: float) -> Union[np.array, float]:
    x.fft_norm = 'rms'
    
    # Harmonische Frequenzen identifizieren
    freq_harm = np.arange(2 * f_0, x.sampling_rate / 2, f_0)
    ind_harm = x.find_nearest_frequency(freq_harm)
    
    # RMS-Amplituden der Harmonischen
    amp_harm = np.abs(x.freq[:, ind_harm])
    rms_amp = np.abs(pf.dsp.rms(x))
    
    # THD_R Berechnung
    thd_r = np.sqrt(np.sum(amp_harm ** 2, axis=-1)) / rms_amp
    return thd_r.item() if thd_r.shape == (1,) else thd_r

4.2. THD+N (Total Harmonic Distortion + Noise)

def thd_n(x: pf.Signal, f_0: float, Q=5) -> Union[np.array, float]:
    # Notch-Filter zur Grundton-Entfernung
    x_filtered = pf.dsp.filter.notch(x, f_0, Q)
    
    # Fensterung beider Signale
    x_han = pf.dsp.time_window(x, window='hann', interval=(0, len(x) - 1))
    x_filtered_han = pf.dsp.time_window(x_filtered, window='hann', 
                                       interval=(0, len(x_filtered) - 1))
    
    # THD+N nach AES17 Standard
    thd_n = pf.dsp.rms(x_filtered_han) / pf.dsp.rms(x_han)
    return thd_n.item() if thd_n.shape == (1,) else thd_n

4.3. Amplitudenabhängige Verzerrungsanalyse

Messverfahren:

  1. Variation der Eingangsamplitude von -60 bis 0 dBFS
  2. Messung der resultierenden THD-Werte
  3. Identifikation des linearen Arbeitsbereichs

Charakteristische Bereiche:

  • Rauschgrenze: THD wird durch Systemrauschen dominiert
  • Linearbereich: Konstant niedrige Verzerrungen
  • Sättigung: Exponentieller THD-Anstieg bei Übersteuerung

5. Wichtige Konzepte

5.1. Digitale Signalverarbeitung

  • PyFar-Framework: Objektorientierte Audio-Signale mit automatischer FFT-Behandlung
  • Multi-Channel-Processing: Vektorisierte Operationen ohne explizite Schleifen
  • Domain-Switching: Nahtloser Wechsel zwischen Zeit- und Frequenzbereich

5.2. Messtechnik-Standards

  • dBFS: Digitaler Vollaussteuerungspegel als Referenz
  • RMS vs. Peak: Unterschiedliche Aussagekraft für verschiedene Signaltypen
  • A-Bewertung: Frequenzabhängige Gewichtung für psychoakustische Relevanz

5.3. Systemcharakterisierung

  • Lineare Systeme: Superpositionsprinzip, Faltung im Zeitbereich
  • Nichtlineare Systeme: Harmonische Verzerrungen, Intermodulation
  • Frequenzselektive Systeme: Filter, Equalizer, Raumakustik

6. Praktische Erkenntnisse

6.1. Fenster-Auswahl

  • Spektralanalyse: Hann-Fenster für ausgewogene Eigenschaften
  • Energiemessungen: Berücksichtigung der Fensterdämpfung durch ECF
  • Transientenanalyse: Rechteckfenster für maximale Zeitauflösung

6.2. Klirrfaktormessung

  • THD_R vs. THD+N: Verschiedene Bewertungsansätze für unterschiedliche Anwendungen
  • Frequenzbereich: Limitation durch Nyquist-Frequenz
  • Messgenauigkeit: Ausreichende Spektralauflösung für Harmonischen-Trennung

6.3. Systemidentifikation

  • Anregungssignal: Breitbandige Spektren für vollständige Charakterisierung
  • Regularisierung: Notwendig für robuste Messungen in realen Umgebungen
  • Validierung: Vergleich rekonstruierter mit gemessener Systemantwort

7. Programmier-Techniken

7.1. NumPy-Optimierungen

# Effiziente Multi-Channel-Verarbeitung
rms_values = np.sqrt(np.mean(signal_array**2, axis=-1))

# Broadcasting für Parameter-Sweeps
amplitudes = np.logspace(-3, 0, 50)[:, np.newaxis]
thd_curves = compute_thd(signals * amplitudes)

7.2. PyFar-Idiome

# Automatic domain switching
signal.time  # Zeitbereichs-Zugriff triggert IFFT falls nötig
signal.freq  # Frequenzbereichs-Zugriff triggert FFT falls nötig

# In-place Operationen für Speicher-Effizienz
signal *= gain  # Modifiziert Signal direkt
signal = signal * gain  # Erstellt neue Kopie

Diese Hausaufgabe legte die Grundlage für alle weiteren fortgeschrittenen Themen der Audiosignalverarbeitung und elektroakustischen Messtechnik.

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