Hausaufgabe 2: Akustische Theorie und Besselfunktionen

1. Überblick

Diese Hausaufgabe kombinierte analytische Berechnungen zur Wellentheorie mit numerischen Implementierungen. Schwerpunkte waren die Herleitung von Schalldruckintegralen für quadratische Membranen und die Anwendung von Besselfunktionen in der Lautsprechertheorie.

2. Teil 1: Druckempfänger mit quadratischer Membran

2.1. Aufgabe 1a-c: Analytische Herleitung

Ausgangspunkt: Ebene Welle $p = p_0 \cdot e^{j(\vec{k} \cdot \vec{r} - \omega t)}$

Schritte:

1. Stationäre Lösung (t=0)
2. Ausbreitung in x-z-Ebene mit Winkel θ
3. Integration über quadratische Membranfläche

Schlüsselresultat: Kraft auf quadratische Membran $F(p_0, k, \theta, d) = \frac{2p_0 d \sin(kd\sin\theta/2)}{k\sin\theta}$

Grenzfall θ→0: Mit l'Hospital-Regel $\lim_{\theta \to 0} F = p_0 d^2$

2.2. Aufgabe 1d-h: Numerische Implementierung

Wellenzahl-Berechnung:

k = (2 * np.pi * freq) / c  # c = 340 m/s

Richtungsfaktor: $\Gamma(k,\theta) = \frac{F(k,\theta)}{F(k,\theta=0)}$

Besonderheiten:

• Verwendung von np.meshgrid() für effiziente Batch-Berechnung
• Behandlung von Division durch Null bei θ=0
• Polardiagramm-Darstellung für verschiedene Frequenzen

3. Teil 2: Richtungsabhängige Frequenzgänge

3.1. Normierung und Darstellung

Normierte Übertragungsfunktion: $H(f,\theta) = \frac{F(f,\theta)}{F(f=1000\text{Hz},\theta=0)}$

Erkenntnisse:

• Frequenzabhängige Richtcharakteristik
• Nullstellen bei seitlichem Einfall (θ=90°)
• Zusammenhang zwischen Membrandimensionen und Wellenlänge

4. Teil 3: Lautsprecherfernfeld (Rayleigh-Integral)

4.1. Analytische Lösung

Nahfeld-Formel: $p(k,r,t) = \rho c \hat{v}_0 \left( e^{j(\omega t - kr)} - e^{j(\omega t - k\sqrt{r^2+a^2})} \right)$

Fernfeld mit Besselfunktionen: $p_{\text{Fernfeld}} = \frac{j\omega\rho\hat{v}_0 S}{2\pi r} \frac{2J_1(ka\sin\theta)}{ka\sin\theta} e^{j(\omega t - kr)}$

4.2. Grenzwert für Mittelachse (θ→0)

Verwendung der Regel von l'Hospital:

• Ableitung von Besselfunktionen: $\frac{d}{dx}J_n(x) = \frac{1}{2}(J_{n-1}(x) - J_{n+1}(x))$
• Grenzwert: $\lim_{\theta \to 0} \frac{2J_1(ka\sin\theta)}{ka\sin\theta} = 1$

4.3. Nah- vs. Fernfeld-Vergleich

Normierungsstrategie:

• Anpassung bei niedrigster Frequenz
• Analyse der Abweichungen über Frequenzbereich
• Kriterium: Abweichung < 2 dB für Richtcharakteristik-Messungen

Praktische Erkenntnisse:

• Geeignete Messabstände: 2m und 10m
• Nahfeldeffekte bei kurzen Abständen
• Frequenzabhängige Unterschiede zwischen Nah- und Fernfeld

5. Wichtige mathematische Konzepte

5.1. Besselfunktionen

• Anwendung: Beschreibung zirkularer Schallabstrahlung
• Eigenschaften: J₀(0)=1, J₁(0)=0, J₂(0)=0
• Differentialgleichungen: Zur Behandlung von Grenzwerten

5.2. Integraltechniken

• Koordinatentransformation: Von kartesischen zu geeigneten Koordinaten
• Euler-Identität: Vereinfachung komplexer Exponentialfunktionen
• L'Hospital-Regel: Behandlung unbestimmter Ausdrücke

5.3. Wellentheorie

• Wellenvektor: $\vec{k} = k(\sin\theta, 0, \cos\theta)$
• Phasenbeziehungen: Interferenz durch Laufzeitunterschiede
• Wellengleichung: Verbindung zu Druckverteilungen

6. Programmier-Techniken

6.1. Numerische Stabilität

• Fehlerbehebung: np.errstate() für Division durch Null
• Grenzwerte: Separate Behandlung kritischer Fälle
• Matrixoperationen: Effiziente Berechnung für große Datensätze

6.2. Visualisierung

• Logarithmische Achsen: plt.semilogx() für Frequenzdarstellung
• Polarplots: Darstellung von Richtcharakteristiken
• Mehrdimensionale Plots: Frequenz-Winkel-Abhängigkeiten

6.3. Datenverarbeitung

• Meshgrid: Koordinatengitter für Batch-Operationen
• Broadcasting: Numpy-Array-Operationen
• Indexing: Effiziente Datenextraktion

7. Praktische Anwendungen

7.1. Mikrofondesign

• Membrangeometrie: Einfluss auf Richtcharakteristik
• Frequenzbereich: Abstimmung der akustischen Eigenschaften

7.2. Lautsprechermessungen

• Messabstand: Kritisch für aussagekräftige Ergebnisse
• Frequenzabhängigkeit: Nahfeldeffekte berücksichtigen

Diese Hausaufgabe verband theoretische Akustik mit praktischer Implementierung und demonstrierte die Bedeutung mathematischer Modelle für das Verständnis elektroakustischer Systeme.