Systeme und Systemeigenschaften

Es sei

ein System $T$ welches ein Einganssignal $x[n]$ zum Ausgangssignal $y[n]$ transformiert. So hat es folgende Eigenschaften:

1. Speicherfreiheit

Ein System ist dann speicherfrei, wenn es nur auf Samples zum selben Zeitpunkt n abhängt. Bspw:

2. Kausalität

Ein System ist dann kausal, wenn das System $y[n]$ zum Zeitpunkt $n_{0}$ nur von Samples aus $x[n]$ mit $n \leq n_{0}$, also es nur aus vergangenen Werten besteht und nicht "in die Zukunft blickt."

3. BIBO Stabilität

Ein system gilt dann als BIBO stabil, wenn jedes beschränkte Eingangssignal auch zu einem beschränktem Ausgangssignal führt, wir also keine Ausreißer ins unendliche bekommen. Also wenn $|x[n]| \leq B_x<\infty$ für alle $n$, dann gilt $|y[n]| \leq B_y<\infty$ für alle $n$.

In der Praxis lässt sich dies am einfachsten über eine z-Transformation zeigen. Hier wissen wir, dass ein System dann stabil ist, wenn alle Pole innerhalb des Eingangskreises liegen.

Alle FIR Systeme sind stabil

4. Linearität

Ein System gilt dann als Linear (siehe Lineare Abbildungen), wenn gilt

5. Zeitinvarianz

Ein System ist dann zeit-invariant, wenn eine zeitliche versetzung des Eingangssignales zum gleichen, aber zeitlich versetzen Ausgangssignal führen.

6. Rekursivität

Ein System ist dann rekusriv, wenn es von vergangenen oder zukünftigen ausgangswerten beruht. Es Beispiel für ein rekursives System ist also: