Fenstertheorem

Für

gilt

Das Fenstertheorem, oft auch als Faltungstheorem im Kontext der Fourier-Transformation bezeichnet, beschreibt, wie das Anwenden eines Fensters auf ein Signal im Zeitbereich dessen Spektrum im Frequenzbereich beeinflusst. Ein Fenster ist eine Funktion, die dazu verwendet wird, einen Ausschnitt oder einen bestimmten Teil eines Signals auszuwählen, wobei Teile des Signals außerhalb des Fensters typischerweise abgeschwächt oder auf Null gesetzt werden. Dies ist besonders in der digitalen Signalverarbeitung relevant, wo unendlich lange Signale für die Analyse in handhabbare, endliche Stücke "gefenstert" werden müssen.

Die Gleichung

beschreibt die Operation im Frequenzbereich, die der Multiplikation eines Signals $X(e^{j \vartheta})$ mit einem Fenster $w[n]$ im Zeitbereich entspricht. Im Frequenzbereich wird diese Multiplikation als Faltung zwischen der Fourier-Transformierten des Signals $X(e^{j \vartheta})$ und der Fourier-Transformierten des Fensters $W(e^{j \omega})$ dargestellt. $Y(e^{j \omega})$ ist das Spektrum des gefensterten Signals.

Hier sind die Schlüsselaspekte des Fenstertheorems:

1. Fensterungseffekt: Das Anwenden eines Fensters im Zeitbereich entspricht einer Faltung des Signalspektrums mit dem Spektrum des Fensters im Frequenzbereich. Das bedeutet, dass das ursprüngliche Spektrum des Signals durch das Spektrum des Fensters modifiziert (typischerweise verbreitert oder verzerrt) wird.
2. Spektrale Auflösung und Leckeffekt: Die Wahl des Fensters beeinflusst die spektrale Auflösung und den Leckeffekt (Spectral Leakage) des analysierten Signals. Ein breites Fenster im Zeitbereich führt zu einer schärferen Auflösung im Frequenzbereich, während ein schmaleres Fenster im Zeitbereich zu einer breiteren Hauptkeule und damit zu einer geringeren Auflösung im Frequenzbereich führt.
3. Kompromiss zwischen Auflösung und Leckeffekt: Durch die Wahl des Fensters (z.B. Rechteck-, Hamming-, Hanning-Fenster usw.) kann ein Kompromiss zwischen der Auflösung benachbarter Frequenzkomponenten und der Minimierung des Leckeffekts gefunden werden.

Das Fenstertheorem unterstreicht die Bedeutung der sorgfältigen Auswahl eines Fensters für die Frequenzanalyse, um die gewünschten Eigenschaften des Signals im Frequenzbereich effektiv zu erfassen und dabei unerwünschte Effekte wie spektrale Verzerrungen und Leckeffekte zu minimieren.