Overlap-Add-Verfahren

Das Overlap-Add-Verfahren ist eine Technik zur schnellen Faltung von langen Signalen, die besonders effizient in Kombination mit der Fast Fourier Transform (FFT) eingesetzt wird. Es wird typischerweise verwendet, um die lineare Faltung zweier Signale, eines Eingangssignals und eines Impulsantwortsignals eines Filters, effizient zu berechnen. Das Verfahren ist besonders nützlich, wenn eines der Signale (üblicherweise die Impulsantwort) deutlich kürzer als das andere ist. Hier ist eine Zusammenfassung des Overlap-Add-Verfahrens:

1. Schritte Des Overlap-Add-Verfahrens

1. Aufteilung des Eingangssignals: Das längere Eingangssignal wird in kleinere Segmente aufgeteilt. Die Länge dieser Segmente ist typischerweise gleich der Länge der FFT, die für die Berechnung verwendet wird, und oft gleich oder etwas länger als die Impulsantwort, um die Effizienz der FFT zu maximieren.
2. Zero Padding der Impulsantwort: Die Impulsantwort wird mit Nullen aufgefüllt, bis sie die gleiche Länge wie die FFT hat. Dies stellt sicher, dass die Faltung jedes Segments vollständig ist und keine Informationen verloren gehen.
3. FFT von Segmenten und Impulsantwort: Die FFT wird sowohl auf jedes Segment des Eingangssignals als auch auf die aufgefüllte Impulsantwort angewendet. Dies transformiert beide in den Frequenzbereich, wo die Multiplikation statt der Faltung durchgeführt wird.
4. Multiplikation im Frequenzbereich: Die FFT-Ergebnisse der Segmente werden mit der FFT der Impulsantwort multipliziert. Dies entspricht der Faltung der Segmente mit der Impulsantwort im Zeitbereich.
5. Inverse FFT: Die inverse FFT (IFFT) wird auf das Ergebnis der Multiplikation angewendet, um die gefalteten Segmente zurück in den Zeitbereich zu transformieren.
6. Überlappung und Addition: Da die Faltung eines Segments mit der Impulsantwort zu einem Ausgang führt, der länger als das ursprüngliche Segment ist, überlappen die gefalteten Segmente. Die überlappenden Teile der Segmente werden addiert, um das endgültige gefaltete Signal zu erzeugen.

2. Vorteile Des Overlap-Add-Verfahrens

• Effizienz: Durch die Nutzung der FFT zur Berechnung der Faltung wird die Komplexität von $O(N^2)$ für die direkte Faltung auf etwa $O(N \log N)$ für jedes Segment reduziert.
• Flexibilität: Das Verfahren kann für Signale beliebiger Länge verwendet werden, was es besonders für die Verarbeitung von Echtzeitsignalen oder sehr langen Signalen geeignet macht.
• Einfache Implementierung: Trotz seiner Effizienz ist das Overlap-Add-Verfahren relativ einfach zu implementieren, besonders mit vorhandenen FFT-Bibliotheken.

Das Overlap-Add-Verfahren ist somit eine leistungsstarke Methode zur schnellen Faltung, die in vielen Bereichen der digitalen Signalverarbeitung, von Audio- und Sprachverarbeitung bis hin zu bildgebenden Verfahren, Anwendung findet.

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