fabian s. klinke

Fouriertransformation für zeitdiskrete Signale (DTFT)

siehe Fourier-Transformation und Eigenschaften der DTFT

Analyse: Um aus einem bestehenden Signal das Frequenzspektrum zu erhalten:

X(ejω)=∑nx[n]e−jωnX\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)=\sum_n x[n] \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \omega n}

Synthese: und umgekehrt:

x[n]=12π∫−ππX(ejω)ejωn dωx[n]=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^\pi X\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right) \mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega n} \mathrm{~d} \omega

1. Beispiel Zur Analyse

wir berechnen nun schritt für schritt die dtft von der eingangsfolge

x[n]=δ[n]−0.5δ[n−1] x[n]=\delta[n]-0.5 \delta[n-1]

Um die Diskrete Zeit-Fourier-Transformierte (DTFT) der gegebenen Eingangsfolge x[n]=δ[n]−0.5δ[n−1]x[n] = \delta[n] - 0.5\delta[n-1] zu berechnen, verwenden wir die Definition der DTFT:

X(ejω)=∑n=−∞∞x[n]e−jωnX(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n]e^{-j\omega n}

Setzen wir die gegebene Eingangsfolge in die DTFT-Formel ein:

X(ejω)=∑n=−∞∞(δ[n]−0.5δ[n−1])e−jωnX(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} (\delta[n] - 0.5\delta[n-1])e^{-j\omega n}

Da δ[n]\delta[n] nur für n=0n=0 Eins ist und sonst Null, und δ[n−1]\delta[n-1] nur für n=1n=1 Eins ist und sonst Null, vereinfacht sich die Summe zu:

X(ejω)=1⋅e−jω⋅0−0.5⋅e−jω⋅1X(e^{j\omega}) = 1\cdot e^{-j\omega \cdot 0} - 0.5 \cdot e^{-j\omega \cdot 1}

Vereinfachen wir weiter:

X(ejω)=1−0.5e−jωX(e^{j\omega}) = 1 - 0.5e^{-j\omega}

Das ist die DTFT der gegebenen Eingangsfolge.

2. Beispiel Zur Synthese

wir berechnen nun einen idealen tiefpassfilter durch eine synthese der dtft.

HTP(ejω)={1,∣ω∣<ωc0,ωc<∣ω∣≤π H_{\mathrm{TP}}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)=\left\{\begin{array}{lc} 1, & |\omega|<\omega_{\mathrm{c}} \\ 0, & \omega_{\mathrm{c}}<|\omega| \leq \pi \end{array}\right.
DTFT
DTFT

Um die inverse Diskrete Zeit-Fourier-Transformierte (IDTFT) eines idealen Tiefpassfilters HTP(ejω)H_{\mathrm{TP}}(e^{j\omega}) zu berechnen und damit seine Impulsantwort h[n]h[n] zu finden, verwenden wir die Definition der IDTFT:

h[n]=12π∫−ππHTP(ejω)ejωndωh[n] = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} H_{\mathrm{TP}}(e^{j\omega}) e^{j\omega n} d\omega

Da der ideale Tiefpassfilter nur im Bereich ∣ω∣<ωc|\omega| < \omega_c den Wert 1 annimmt und sonst 0 ist, ändert sich die Integrationsgrenze entsprechend:

h[n]=12π∫−ωcωcejωndωh[n] = \frac{1}{2\pi} \int_{-\omega_c}^{\omega_c} e^{j\omega n} d\omega

Wir integrieren ejωne^{j\omega n} bezüglich ω\omega:

h[n]=12π[ejωnjn]−ωcωch[n] = \frac{1}{2\pi} \left[ \frac{e^{j\omega n}}{jn} \right]_{-\omega_c}^{\omega_c}

Das ergibt:

h[n]=12πjn(ejωcn−e−jωcn)h[n] = \frac{1}{2\pi jn} \left( e^{j\omega_c n} - e^{-j\omega_c n} \right)

Unter Verwendung der Euler-Identität ejθ−e−jθ=2jsin⁡(θ)e^{j\theta} - e^{-j\theta} = 2j\sin(\theta) kann dies vereinfacht werden zu:

h[n]=1πnsin⁡(ωcn)h[n] = \frac{1}{\pi n} \sin(\omega_c n)

Für den Fall, dass n=0n = 0, nutzen wir den Grenzwertansatz, da sin⁡(ωc⋅0)/(0)\sin(\omega_c \cdot 0) / (0) eine unbestimmte Form ist. Wir wissen, dass sin⁡(0)=0\sin(0) = 0, und der Grenzwert von sin⁡(x)/x\sin(x)/x für x→0x \to 0 ist 1, also:

h[0]=ωcπh[0] = \frac{\omega_c}{\pi}

Zusammenfassend ist die Impulsantwort h[n]h[n] eines idealen Tiefpassfilters:

h[n]={ωcπfu¨r n=0sin⁡(ωcn)πnfu¨r n≠0h[n] = \left\{\begin{array}{ll} \frac{\omega_c}{\pi} & \text{für } n = 0\\ \frac{\sin(\omega_c n)}{\pi n} & \text{für } n \neq 0 \end{array}\right.

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