Fouriertransformation für zeitdiskrete Signale (DTFT)

siehe Fourier-Transformation und Eigenschaften der DTFT

Analyse: Um aus einem bestehenden Signal das Frequenzspektrum zu erhalten:

X\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)=\sum_n x[n] \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \omega n}

Synthese: und umgekehrt:

x[n]=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^\pi X\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right) \mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega n} \mathrm{~d} \omega

1. Beispiel Zur Analyse

wir berechnen nun schritt für schritt die dtft von der eingangsfolge

x[n]=\delta[n]-0.5 \delta[n-1]

Um die Diskrete Zeit-Fourier-Transformierte (DTFT) der gegebenen Eingangsfolge $x[n] = \delta[n] - 0.5\delta[n-1]$ zu berechnen, verwenden wir die Definition der DTFT:

X(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n]e^{-j\omega n}

Setzen wir die gegebene Eingangsfolge in die DTFT-Formel ein:

X(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} (\delta[n] - 0.5\delta[n-1])e^{-j\omega n}

Da $\delta[n]$ nur für $n=0$ Eins ist und sonst Null, und $\delta[n-1]$ nur für $n=1$ Eins ist und sonst Null, vereinfacht sich die Summe zu:

X(e^{j\omega}) = 1\cdot e^{-j\omega \cdot 0} - 0.5 \cdot e^{-j\omega \cdot 1}

Vereinfachen wir weiter:

X(e^{j\omega}) = 1 - 0.5e^{-j\omega}

Das ist die DTFT der gegebenen Eingangsfolge.

2. Beispiel Zur Synthese

wir berechnen nun einen idealen tiefpassfilter durch eine synthese der dtft.

H_{\mathrm{TP}}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)=\left\{\begin{array}{lc} 1, & |\omega|<\omega_{\mathrm{c}} \\ 0, & \omega_{\mathrm{c}}<|\omega| \leq \pi \end{array}\right.

Um die inverse Diskrete Zeit-Fourier-Transformierte (IDTFT) eines idealen Tiefpassfilters $H_{\mathrm{TP}}(e^{j\omega})$ zu berechnen und damit seine Impulsantwort $h[n]$ zu finden, verwenden wir die Definition der IDTFT:

h[n] = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} H_{\mathrm{TP}}(e^{j\omega}) e^{j\omega n} d\omega

Da der ideale Tiefpassfilter nur im Bereich $|\omega| < \omega_c$ den Wert 1 annimmt und sonst 0 ist, ändert sich die Integrationsgrenze entsprechend:

h[n] = \frac{1}{2\pi} \int_{-\omega_c}^{\omega_c} e^{j\omega n} d\omega

Wir integrieren $e^{j\omega n}$ bezüglich $\omega$ :

h[n] = \frac{1}{2\pi} \left[ \frac{e^{j\omega n}}{jn} \right]_{-\omega_c}^{\omega_c}

Das ergibt:

h[n] = \frac{1}{2\pi jn} \left( e^{j\omega_c n} - e^{-j\omega_c n} \right)

Unter Verwendung der Euler-Identität $e^{j\theta} - e^{-j\theta} = 2j\sin(\theta)$ kann dies vereinfacht werden zu:

h[n] = \frac{1}{\pi n} \sin(\omega_c n)

Für den Fall, dass $n = 0$ , nutzen wir den Grenzwertansatz, da $\sin(\omega_c \cdot 0) / (0)$ eine unbestimmte Form ist. Wir wissen, dass $\sin(0) = 0$ , und der Grenzwert von $\sin(x)/x$ für $x \to 0$ ist 1, also:

h[0] = \frac{\omega_c}{\pi}

Zusammenfassend ist die Impulsantwort $h[n]$ eines idealen Tiefpassfilters:

h[n] = \left\{\begin{array}{ll} \frac{\omega_c}{\pi} & \text{für } n = 0\\ \frac{\sin(\omega_c n)}{\pi n} & \text{für } n \neq 0 \end{array}\right.

notes.

Fouriertransformation für zeitdiskrete Signale (DTFT)

1. Beispiel Zur Analyse

2. Beispiel Zur Synthese

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Fouriertransformation für zeitdiskrete Signale (DTFT)

1. Beispiel Zur Analyse

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