Eigenschaften der DTFT

1. Periodizität

$X\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)$ ist periodisch in $\omega$ mit der Periode $2 \pi$

2. Symmetrien

• konjugierte symmetrie: $X\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)=X^*\left(\mathrm{e}^{-\mathrm{j} \omega}\right)$
• gerade symmetrie: $\left|X\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)\right|=\left|X\left(\mathrm{e}^{-\mathrm{j} \omega}\right)\right|$
• ungerade symmetrie: $\angle X\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)=-\angle X\left(\mathrm{e}^{-\mathrm{j} \omega}\right)$

3. Linearität

4. Zeitinvarianz

5. Frequenzverschiebung

6. Parseval Theorem

Das Parsevalsche Theorem, auch bekannt als Parsevalsche Identität, stellt eine fundamentale Beziehung in der Signalverarbeitung und Fourier-Analyse dar. Es besagt, dass die gesamte Energie eines Signals im Zeitbereich gleich der gesamten Energie des Signals im Frequenzbereich ist. Das Theorem ist ein Ausdruck der Energieerhaltung zwischen Zeit- und Frequenzdomäne für Signale, die durch ihre Fourier-Transformierte repräsentiert werden.

• Auf der linken Seite der Gleichung steht die Summe der Quadrate der Beträge des Signals $x[n]$ im Zeitbereich, was der gesamten Energie des Signals im Zeitbereich entspricht.
• Auf der rechten Seite steht das Integral über die Quadrate der Beträge der Fourier-Transformierten $X(e^{j \omega})$ des Signals, multipliziert mit $\frac{1}{2\pi}$, was der gesamten Energie des Signals im Frequenzbereich entspricht.

Das Theorem zeigt, dass die Transformation eines Signals in den Frequenzbereich mittels der Fourier-Transformation die Gesamtenergie des Signals nicht ändert. Dies ist besonders wichtig in der digitalen Signalverarbeitung und der Kommunikationstechnik, da es ermöglicht, Analysen und Operationen im Frequenzbereich durchzuführen, ohne die Gesamtenergie oder -information des Signals zu verlieren oder zu verändern.

In der Praxis bedeutet dies, dass man durch die Betrachtung des Frequenzspektrums eines Signals vollständige Informationen über seine Energieverteilung erhält, was für die Filterentwicklung, Spektralanalyse und viele andere Anwendungen der Signalverarbeitung essentiell ist.