Zeigerdarstellung

Die Zeigerdarstellung wurde entwickelt, da die trigonometrischen Umformungen in der Praxis kaum zu handhaben sind. Sie ist eine grafische Darstellung der Zeitfunktionen als Zeiger (mathematisch einem zweidimensionalen Vektor entsprechend), mit der sich die Berechnungen vereinfachen. Diese Methode eignet sich für alle Wechselstromkreise, die nur eine Frequenz aufweisen und bei denen die Zeitabhängigkeit harmonisch (sinusförmig) ist.

1. Spannungszeitzeiger

Ein Spannungs-Zeitzeiger wird dadurch festgelegt, dass er die Länge $\hat{u}$ und den Winkel $\varphi_U + \omega t$ gegenüber einer Achse in einem rechtwinkligen Koordinatensystem hat. Die Projektion des Zeigers auf die Achse entspricht genau dem Augenblickswert der sinusförmigen Größe.

Ein Spannungs- oder Strom-Zeiger symbolisiert alle wichtigen Wechselgrößen:

• Art
• Momentanwert
• (momentane) Phasenlage
• Amplitude

2. Konventionen und Notation

• Zur Unterscheidung von anderen Größen werden Zeiger durch einen Unterstrich gekennzeichnet (zunächst Amplitudenzeiger $\underline{i}$, $\underline{u}$)
• Die Zeigerlänge entspricht der Amplitude der Wechselgröße
• Zu Anfang der Berechnung sollte ein Maßstabsfaktor festgelegt werden (z.B. 10 cm entsprechen 10 V)

3. Orientierung der Zeiger

Die Orientierung des ersten Zeigers ist prinzipiell willkürlich. Üblicherweise wird jedoch der Phasenwinkel Null:

• in der elektrischen Energietechnik senkrecht nach oben und
• in der elektrischen Nachrichtentechnik waagrecht nach rechts gezeichnet.

4. Das "Einfrieren" der Zeiger

In einem System konstanter Frequenz drehen sich alle Zeiger gleichermaßen um den Ursprung. Die relative Beziehung der Zeiger untereinander (Amplitude und Phasenwinkel-Differenz) ändert sich nicht. Daher genügt es, die Größen zu einem beliebigen Zeitpunkt "einzufrieren" und die Betrachtung nur für diesen Zeitpunkt durchzuführen. Alle anderen Zeitpunkte folgen durch gleichzeitiges Drehen aller Zeiger um den gleichen Winkel.

5. Mathematische Darstellung

Eine sinusförmige Größe wie $u(t) = \hat{U} \cdot \sin(\omega t + \varphi)$ wird in der Zeigerdarstellung als komplexe Zahl dargestellt:

$U = \hat{U} \cdot e^{j\varphi} = \hat{U} \cdot (\cos\varphi + j\sin\varphi)$

6. Phasenbeziehungen bei Bauelementen

Die Phasenbeziehungen zwischen Strom und Spannung sind charakteristisch für verschiedene Bauelemente:

6.1. Ohmscher Widerstand

• Strom und Spannung sind in Phase ($\varphi = 0$)
• Zeiger von Strom und Spannung zeigen in die gleiche Richtung

6.2. Kondensator

• Strom eilt der Spannung um $\frac{\pi}{2}$ voraus ($\varphi = -90°$)
• Stromzeiger zeigt um 90° gegen den Uhrzeigersinn vor dem Spannungszeiger

6.3. Spule

• Strom hängt der Spannung um $\frac{\pi}{2}$ nach ($\varphi = +90°$)
• Stromzeiger zeigt um 90° im Uhrzeigersinn hinter dem Spannungszeiger