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Berechnung von Wechselstromkreisen

Neben Widerständen werden in Wechselstromkreisen auch Induktivitäten und Kapazitäten verwendet. Diese gehorchen der Kondesatorengleichung bzw. dem Induktionsgesetz.

uL(t)=L⋅diL(t)dtu_L(t) = L \cdot \frac{\mathrm{d}i_L(t)}{\mathrm{d}t} iC(t)=C⋅duC(t)dti_C(t) = C \cdot \frac{\mathrm{d}u_C(t)}{\mathrm{d}t}

1. Berechnung auf Basis trigonometrischer Formeln

Da die Spannung und der Strom sinusförmig sind, können die trigonometrischen Formeln und Regeln für die Addition von Sinusfunktionen verwendet werden. Dies kann jedoch sehr aufwändig sein. So ergibt sich bspw. für

u1(t)=u^1⋅sin⁡(ω⋅t+φ1)u2(t)=u^2⋅sin⁡(ω⋅t+φ2)u(t)=u1(t)+u2(t)=u^⋅sin⁡(ω⋅t+φ)\begin{aligned} u_1(t) &= \hat{u}_1 \cdot \sin(\omega \cdot t + \varphi_1) \\ u_2(t) &= \hat{u}_2 \cdot \sin(\omega \cdot t + \varphi_2) \\ u(t) &= u_1(t) + u_2(t) = \hat{u} \cdot \sin(\omega \cdot t + \varphi) \end{aligned}

als Amplitude u^\hat{u} und Phasenverschiebung φ\varphi:

u^=u^12+u^22+2⋅u^1⋅u^2⋅cos⁡(φ2−φ1)\hat{u} = \sqrt{\hat{u}_1^2 + \hat{u}_2^2 + 2 \cdot \hat{u}_1 \cdot \hat{u}_2 \cdot \cos(\varphi_2 - \varphi_1)} φ=−arctan⁡(u^1⋅cos⁡(φ1)+u^2⋅cos⁡(φ2)u^1⋅sin⁡(φ1)+u^2⋅sin⁡(φ2))\varphi = -\arctan\left(\frac{\hat{u}_1 \cdot \cos(\varphi_1) + \hat{u}_2 \cdot \cos(\varphi_2)}{\hat{u}_1 \cdot \sin(\varphi_1) + \hat{u}_2 \cdot \sin(\varphi_2)}\right)

Für komplexere Schaltungen kann diese Berechnung sehr aufwändig sein.

2. Zeigerdarstellung

Hier hat sich die Zeigerdarstellung als sehr hilfreich erwiesen.

siehe Zeigerdarstellung

3. Berechnung mit Hilfe komplexer Zahlen

Die komplexe Wechselstromrechnung ist eine mathematische Methode zur Berechnung von Wechselstromkreisen. Sie basiert auf der Darstellung von sinusförmigen Größen als komplexe Zahlen.

U‾=U^⋅ejφ=U^⋅(cos⁡φ+jsin⁡φ)\underline{U} = \hat{U} \cdot e^{j\varphi} = \hat{U} \cdot (\cos\varphi + j\sin\varphi) I‾=I^⋅ejφ=I^⋅(cos⁡φ+jsin⁡φ)\underline{I} = \hat{I} \cdot e^{j\varphi} = \hat{I} \cdot (\cos\varphi + j\sin\varphi)

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